[論文レビュー] Uncertainty relations for multiple measurements with applications

Omar Fawzi|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、複数の量子測定に対する強力な不確実性関係を導入し、暗号および通信タスクに応用する。メトリック不確実性関係および量子から古典への抽出器（QC抽出器）の明示的構成を提示し、初めての明示的情報ロックインスキームを実現するとともに、量子容量の上限を用いてノイズのあるストレージモデルにおける安全性を証明する。

ABSTRACT

Uncertainty relations express the fundamental incompatibility of certain observables in quantum mechanics. Far from just being puzzling constraints on our ability to know the state of a quantum system, uncertainty relations are at the heart of why some classically impossible cryptographic primitives become possible when quantum communication is allowed. This thesis is concerned with strong notions of uncertainty relations and their applications in quantum information theory. One operational manifestation of such uncertainty relations is a purely quantum effect referred to as information locking. A locking scheme can be viewed as a cryptographic protocol in which a uniformly random n-bit message is encoded in a quantum system using a classical key of size much smaller than n. Without the key, no measurement of this quantum state can extract more than a negligible amount of information about the message, in which case the message is said to be "locked". Furthermore, knowing the key, it is possible to recover, that is "unlock", the message. We give new efficient constructions of bases satisfying strong uncertainty relations leading to the first explicit construction of an information locking scheme. We also give several other applications of our uncertainty relations both to cryptographic and communication tasks. In addition, we define objects called QC-extractors, that can be seen as strong uncertainty relations that hold against quantum adversaries. We provide several constructions of QC-extractors, and use them to prove the security of cryptographic protocols for two-party computations based on the sole assumption that the parties' storage device is limited in transmitting quantum information. In doing so, we resolve a central question in the so-called noisy-storage model by relating security to the quantum capacity of storage devices.

研究の動機と目的

• 複数の量子測定に対する強力な不確実性関係を開発し、新たな量子暗号プリミティブを可能にする。
• 実用的応用を目的とした、明示的かつ効率的な基底を構築し、強力な不確実性関係を満たす。
• 量子敵対者に対する不確実性関係のツールとしてQC抽出器を導入する。
• 量子容量をセキュリティパrameterとして用い、2者間量子プロトコルの安全性をノイズのあるストレージモデルで証明する。
• ストレージデバイスの量子容量にプロトコルの安全性を結びつけることで、量子暗号分野の基礎的問題を解決する。

提案手法

• 演算子ノルムを用いて、複数の量子測定の不適合性を測定するメトリック不確実性関係を用いる。
• 完全な相互に直交する基底（MUB）とユニタリ2デザインを用いて、明示的な不確実性達成基底を構築する。
• 量子側情報に対して不確実性を保つ量子から古典への抽出器としてQC抽出器を定義する。
• デコherence定理と最小エントロピーの上限を適用し、小さな古典的鍵を用いた情報ロックインを証明する。
• スワップトリックと演算子チェルノフの不等式を用いて、不確実性関係における忠実度と測定結果を分析する。
• QC抽出器の構成を用いて、ノイズのあるストレージモデルにおける安全性をストレージデバイスの量子容量に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の量子測定に対して、明示的かつ効率的な不確実性関係の構成は可能か？
• RQ2 不確実性関係は、小さな古典的鍵を用いた情報ロックインスキームを構築するためにどのように利用可能か？
• RQ3 量子側情報は、敵対者が古典的情報を抽出する能力をどのように制限するか？
• RQ4 2者間プロトコルにおける量子敵対者に対する安全性を保証するQC抽出器を構築可能か？
• RQ5 ストレージデバイスの量子容量は、ノイズのあるストレージモデルにおけるプロトコルの安全性をどのように決定するか？

主な発見

• MUBを用いたメトリック不確実性関係を用いて、初めての明示的情報ロックインスキームが実現された。
• パウリ演算子のみを用いたのでは、不確実性の性質が限られているため、情報ロックインは不可能である。
• 完全なMUBの集合とビット単位の構成を用いてQC抽出器が構築され、量子敵対者に対する不確実性が保証された。
• ストレージデバイスの量子容量に結びつけることで、ノイズのあるストレージモデルにおける安全性が証明され、中心的な未解決問題が解決された。
• 忠実度に基づくデコherence的議論により、最小エントロピーの上限が、無視できる漏洩量を伴う有効な情報ロックインを示す。
• 鍵のサイズ $t$ とメッセージ長 $n$ の関係を示す不等式 $1 - \epsilon - 2^{-n} \leq 2^n / t$ が導出された。