[論文レビュー] Unfounded Sets and Well-Founded Semantics of Answer Set Programs with Aggregates

Mario Alviano, Francesco Calimeri+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 54被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、単調および反単調集合を含む答え集合プログラミング（LPAmaプログラム）のための、未定義集合およびWell-Founded意味論の新規な定義を提示し、古典的論理プログラミング意味論を一般化する。Well-Foundedモデルが一意に定義され、多項式時間で計算可能であることを証明しており、プロトタイプシステムにより、集合を含まない符号化と比較して顕著な性能向上が得られた。一方、一般集合の扱いはcoNP完全性を示し、単調／反単調の制限が正当化される。

ABSTRACT

Logic programs with aggregates (LPA) are one of the major linguistic extensions to Logic Programming (LP). In this work, we propose a generalization of the notions of unfounded set and well-founded semantics for programs with monotone and antimonotone aggregates (LPAma programs). In particular, we present a new notion of unfounded set for LPAma programs, which is a sound generalization of the original definition for standard (aggregate-free) LP. On this basis, we define a well-founded operator for LPAma programs, the fixpoint of which is called well-founded model (or well-founded semantics) for LPAma programs. The most important properties of unfounded sets and the well-founded semantics for standard LP are retained by this generalization, notably existence and uniqueness of the well-founded model, together with a strong relationship to the answer set semantics for LPAma programs. We show that one of the D-well-founded semantics, defined by Pelov, Denecker, and Bruynooghe for a broader class of aggregates using approximating operators, coincides with the well-founded model as defined in this work on LPAma programs. We also discuss some complexity issues, most importantly we give a formal proof of tractable computation of the well-founded model for LPA programs. Moreover, we prove that for general LPA programs, which may contain aggregates that are neither monotone nor antimonotone, deciding satisfaction of aggregate expressions with respect to partial interpretations is coNP-complete. As a consequence, a well-founded semantics for general LPA programs that allows for tractable computation is unlikely to exist, which justifies the restriction on LPAma programs. Finally, we present a prototype system extending DLV, which supports the well-founded semantics for LPAma programs, at the time of writing the only implemented system that does so. Experiments with this prototype show significant computational advantages of aggregate constructs over equivalent aggregate-free encodings.

研究の動機と目的

• 集合を含む論理プログラム、特に単調および反単調のものに対する未定義集合およびWell-Founded意味論を拡張すること。
• LPAmaプログラムにおいて、Well-Foundedモデルが一意に定義され、多項式時間で計算可能であることを保証すること。
• 新しいWell-Founded意味論とLPAmaプログラムの答え集合意味論との強い関係を確立すること。
• 一般集合のためのWell-Founded意味論が多項式時間で計算可能であることはほとんど不可能であることを示し、集合の満たしの判定がcoNP完全であることを示すこと。
• 新しい意味論をプロトタイプシステムに実装・評価し、集合を含まない符号化と比較して計算上の利点を示すこと。

提案手法

• 集合を含まない論理プログラムにおける標準的定義を一般化した、LPAmaプログラムのための未定義集合の新しい定義を導入する。
• 新しい未定義集合の概念に基づくWell-Founded作用素を定義し、その不動点がWell-Foundedモデルを生成する。
• LPAmaプログラムにおけるWell-Foundedモデルの存在および一意性を証明し、標準的論理プログラミングの主要な性質を保持する。
• 提案されたWell-Founded意味論と、PelovらのD-Well-Founded意味論との間の正式な対応関係を確立する。
• LPAmaプログラムのWell-Foundedモデルの計算が多項式時間で可能であることを形式的証明する。
• DLVを拡張して新しい意味論をサポートするプロトタイプシステムを開発・評価し、実世界および合成的なベンチマークを用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調および反単調集合を含む論理プログラムに対して、未定義集合およびWell-Founded意味論を意味的に一般化できるか？
• RQ2 LPAmaプログラムのWell-Foundedモデルは一意に定義され、多項式時間で計算可能か？
• RQ3 提案されたWell-Founded意味論は、D-Well-Founded意味論などの既存の意味論とどのように関係しているか？
• RQ4 一般集合のためのWell-Founded意味論を多項式時間で計算することは現実的か？
• RQ5 集合構造を用いることで、同等の集合を含まない符号化と比較して、実際の性能にどのような利点があるか？

主な発見

• LPAmaプログラムのWell-Foundedモデルは一意に定義され、多項式時間で計算可能であり、計算の容易さを保証する。
• 提案されたWell-Founded意味論は、LPAmaプログラムにおいてPelovらのD-Well-Founded意味論と一致し、正しさが裏付けられる。
• 一般LPAプログラムの部分的解釈における集合の満たしの判定はcoNP完全であるため、一般集合のための計算容易なWell-Founded意味論はほとんど不可能である。
• DLVを拡張したプロトタイプシステムは、新しい意味論を効果的に実装し、実験で集合を含まない符号化と比較して顕著な性能向上を示した。
• 集合の使用により、より簡潔で効率的な符号化が可能となり、実際の計算において測定可能な利点が得られた。