[論文レビュー] Unification of the state with the dynamical law

Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、物理法則と状態の区別が崩壊し、時間に依存する力学法則の下で進化する「準状態」と呼ばれる単一の進化的実体に統合されるフレームワークを提案する。行列モデルを用いて、有効法則が短時間スケールでのみ現れることを示し、長期的進化には法則と状態が共進化する準状態の一部として扱う必要があることを示し、普遍的で恣意的でない力学的メカニズムにより「メタ法則のジレンマ」を解決する。

ABSTRACT

We address the question of why particular laws were selected for the universe, by proposing a mechanism for laws to evolve. Normally in physical theories, timeless laws act on time-evolving states. We propose that this is an approximation, good on time scales shorter than cosmological scales, beyond which laws and states are merged into a single entity that evolves in time. Furthermore the approximate distinction between laws and states, when it does emerge, is dependent on the initial conditions. These ideas are illustrated in a simple matrix model.

研究の動機と目的

• 法則と状態が根本的ではなく、単一の進化的準状態から生じることを提案することで、物理学における「なぜこれらの法則か？」という問いに応えること。
• メタ法則自体が正当化を要するという「メタ法則のジレンマ」を、法則と状態を単一の力学的枠組みに統合することで解決すること。
• 法則と状態の区別が、宇宙論的時間スケールで短時間に限定された近似にすぎないことを示すこと。
• 有効法則の出現が初期状態に依存し、別個のメタ法則によって事前に決定されていないことを示すこと。
• 法則が状態とともに進化するメカニズムを提案し、法則の進化に関するメタ理論における無限の帰納を回避すること。

提案手法

• 時間順序付きの行列演算の系列により、最小限の進化則が定義され、ハミルトニアンがスパース行列の繰り返しの交換子を通じて進化する。
• スパース行列 $ A^{(p)} $ を用いた行列代数が使用され、それぞれのノルムが $ ||A^{(p)}|| \approx M $ となるように設定され、力学的複雑性の増大を模擬する。
• 行列要素の確率は $ p(A) = \frac{\text{非ゼロ要素の数}}{N^2} $ で計算され、$ p(A^{(p)}) = \frac{M}{N^2} $ となるように設定され、スパース性が保証される。
• ハミルトニアンの時間発展は $ H_n = H_0 + \delta H_n $ として導出され、$ \delta H_n $ は $ M^p $ 階のネストされた交換子の項が蓄積される。
• 有効法則近似の妥当性は、比 $ \frac{p(\delta H_n)}{p(H_0)} < \frac{nM/N}{1 - nM/N} $ を用いて評価され、$ n < \frac{N}{M} $ のとき成り立つことが示される。
• 大 $ N $ におけるランダムで相関のない行列を仮定することで、有効ダイナミクスの出現に関する統計的解析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する宇宙論的枠組みにおいて、法則と状態の区別をどのように動的に統合できるか？
• RQ2 別個のメタ法則を必要とせず、単一の進化的準状態から有効法則がどのように出現するかのメカニズムは何か？
• RQ3 なぜ有効法則近似は長時間の宇宙論的スケールで崩壊するのか？そして何に置き換えられるのか？
• RQ4 任意のメタ法則や無限帰納を避けて、法則の進化を根本的原理から導出できるか？
• RQ5 異なる初期準状態設定において、有効法則の出現を支配する普遍的原理は存在するか？

主な発見

• 有効な法則と状態の区別は、$ n < \frac{N}{M} $ のときのみ有効であり、これは宇宙論的時間スケールで崩壊することを意味する。
• 時間に依存するハミルトニアン $ H_n $ はネストされた交換子を介して進化し、$ \delta H_n $ は $ O(M^p) $ 項の寄与を蓄積する。それぞれの確率は $ p(\delta H_n(M^p)) = \frac{n^p M^p}{N^{p+1}} $ となる。
• $ \delta H_n $ が $ H_0 $ に比べて無視できるという近似は、$ \frac{nM}{N} < 1 $ のとき成り立ち、$ n \ll \frac{N}{M} $ の間有効法則が維持されることを保証する。
• 摂動 $ \delta H_n $ の総確率は $ \frac{p(\delta H_n)}{p(H_0)} < \frac{nM/N}{1 - nM/N} $ で有界であり、有効法則近似の妥当性が確認される。
• モデルは、有効法則の出現が事前に指定されたメタ法則によるものではなく、初期準状態と進化則の構造から生じることを示している。
• 法則と状態を単一の進化的実体に統合することで、メタ法則ジレンマを回避し、あらゆる可能な力学的規則に普遍性が存在することを示唆している。