[論文レビュー] Uniform boundedness of pretangent spaces, local constancy of metric derivatives and strong right upper porosity at a point

Viktoriia Bilet, Oleksiy Dovgoshey+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、距離空間内の点における前接空間の均一有界性が、その点からの距離集合がゼロにおいて完全に強く穴あきであることと同値であることを確立している。さらに、この条件がすべての距離微分可能写像の距離微分の局所的定数性を保証することを示し、このような微分の定数性半径に対する鋭い下界を特定している。

ABSTRACT

Let $(X,d,p)$ be a pointed metric space. A pretangent space to $X$ at $p$ is a metric space consisting of some equivalence classes of convergent to $p$ sequences $(x_n), x_n \in X,$ whose degree of convergence is comparable with a given scaling sequence $(r_n), r_n\downarrow 0.$ A scaling sequence $(r_n)$ is normal if this sequence is eventually decreasing and there is $(x_n)$ such that $\mid d(x_n,p)-r_n\mid=o(r_n)$ for $n o\infty.$ Let $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ be the set of pretangent spaces to $X$ at $p$ with normal scaling sequences. We prove that $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is uniformly bounded if and only if $\{d(x,p): x\in X\}$ is a so-called completely strongly porous set. It is also proved that the uniform boundedness of $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is an equivalent of the constancy of metric derivatives of all metrically differentiable mappings on $X$ in the open balls of a fixed radius centered at the marked points of pretangent spaces.

研究の動機と目的

• 距離空間内の点における前接空間の均一有界性を特徴づけること。
• 距離集合 $ S_p(X) = \{d(x,p) : x \in X\} $ がゼロにおいて有する穴あき性と前接空間の有界性との関係を調査すること。
• 前接空間の均一有界性と距離微分可能写像の距離微分の定数性との間の関係を確立すること。
• 均一有界性の条件下で、距離微分の定数性半径に対する鋭い下界を特定すること。

提案手法

• 点 $ p $ に収束する列の同値類として前接空間を定義し、正規スケーリング列 $ (r_n) $ によって収束速度を制御する。
• 正規スケーリング列の概念を導入し、$ |d(x_n, p) - r_n| = o(r_n) $ を満たすことで、意味のある漸近的挙動を保証する。
• 正規スケーリング列から生じるすべての前接空間の集合を $ \Omega_p^X(n) $ と定義する。
• 一様離散性と、前接空間内の異なる点間の距離の下限 $ R_*(\Omega_p^X(n)) $ を用いて、有界性を特徴づける。
• 写像 $ f: X \to Y $ の距離微分 $ D^*f $ を、最大自己安定族のペア $ \tilde{X}_{p,\tilde{r}} $ と $ \tilde{Y}_{a,\tilde{t}} $ に関して定義し、その定数性を検討する。
• 局所的定数性を定量化するために、$ D^*f $ が原点における値から異なる最初の点までの距離 $ c_\alpha(D^*f) $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、前接空間の集合 $ \Omega_p^X(n) $ は均一有界となるか？
• RQ2 前接空間の均一有界性は、距離集合 $ S_p(X) $ がゼロにおいてどのように穴あきであるかとどのように関係するか？
• RQ3 前接空間の均一有界性は、すべての距離微分可能写像の距離微分の局所的定数性を意味するか？
• RQ4 均一有界性の下で、距離微分の定数性半径に対する最適（鋭い）下界は何か？

主な発見

• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ が均一有界であるための必要十分条件は、$ S_p(X) $ がゼロにおいて完全に強く穴あきであることである。
• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ の均一有界性は、すべての距離微分可能写像 $ f $ に対して正の下界 $ c_X > 0 $ が存在し、$ c_\alpha(D^*f) \geq c_X $ が成り立つことと同値である（ここで $ \alpha $ は前接空間の原点である）。
• $ c_X $ の鋭い下界は $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $ であり、ここで $ M(\tilde{L}) $ は前接空間内の異なる点間の距離の逆数の上界である。
• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ の一様離散性は、その均一有界性と同値であり、これは $ R_*(\Omega_p^X(n)) = \frac{1}{M(\tilde{L})} > 0 $ と同値である。
• 前接空間上の恒等写像は、$ c_\alpha(id_\Omega) = \frac{1}{M(\tilde{L})} $ を達成し、この下界が最適であることを確認している。
• 距離集合 $ S_p(X) $ がゼロにおいて完全に強く穴あきであるとき、すべての距離微分可能写像の距離微分は半径 $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $ の球上で局所的に定数であり、微分の変動が「局所的に消える」性質を示している。