[論文レビュー] Uniform boundedness of rational points and preperiodic points

Bjorn Poonen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体およびℚの有限生成拡張上で、代数的多様体および力学系の族における有理点および非周期的点の一様有界性を調査する。有理点の一体的有界性問題と非周期的点の一体的有界性問題の間の同値性を確立し、Morton–Silverman予想が正しければ、アーベル多様体上の捩れ点の一様有界性が導かれることを示している。

ABSTRACT

We ask questions generalizing uniform versions of conjectures of Mordell and Lang and combining them with the Morton--Silverman conjecture on preperiodic points. We prove a few results relating different versions of such questions.

研究の動機と目的

• ℚの有限生成拡張上の代数的多様体の族における有理点の一様有界性を調査すること。
• Mordell–LangおよびBombieri–Lang型の予想を、より高次元および高ジェノスの族へ一般化すること。
• 代数的多様体の自己準同型における非周期的点の一体的有界性の類似を探索すること。
• さまざまな体の拡張および幾何学的族における一体的有界性の異なる定式化の間の論理的同値性を確立すること。
• 非周期的点に関するMorton–Silverman予想が、数体上のアーベル多様体における捩れ点の一様有界性にどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 有限型分解を用いて、一般の一体的有界性問題をアフィンスキームの状況に還元すること。
• スカラーの制限を適用して、次数Dの拡張上での有界性を基本体上での有界性に関連させること。
• Néronモデルおよび基底変更の理論を用いて、多様体および力学系の普遍族を構成すること。
• Skolemのテクニックを用いて、多項式方程式系をアフィン空間内の4次超曲面に還元すること。
• Zarhinのテクニックを用いて、アーベル多様体の研究を主偏極をもつものに還元し、versal族の使用を可能にすること。
• 相対的Weilの制限の構成を用いて、次数Dの拡張上での一体的有界性と基本体上での一体的有界性の同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各n ≥ 1に対して、ℚ上に有限個の有理点をもつ𝔸^n内の4次超曲面に対して、有理点の数に一様な上限B_nが存在するか？
• RQ2 ℚの有限生成拡張k上の有限型k-スキームの準同型π: X → Sに対して、X_s(k)が有限であるとき、集合{#X_s(k) : s ∈ S(k)}は有限か？
• RQ3 固定された次数Dに対して、集合{#PrePer(f_s, L) : [L:k] = D, s ∈ S(L)}は有限か？ ここでf_sはファイバーX_s上の自己写像である。
• RQ4 非周期的点に関するMorton–Silverman予想は、数体上のアーベル多様体における捩れ点の一様有界性を示唆するか？
• RQ5 数体上での有理点の一体的有界性問題は、ℚの任意の有限生成拡張上でのそれと同値か？

主な発見

• 質問1.2（有限生成体上の有理点の一様有界性）は、任意のℚの有限生成拡張kに対して、質問1.3（有界次数の拡張）と同値である。
• ℚ上での4次超曲面における有理点の一様有界性は、数体上の種数>1のすべての曲線における有理点の一様有界性を含意する。
• 質問1.1（4次の一様有界性）に肯定的解答が得られれば、Caporaso–Harris–Mazur予想の数体版に対しても肯定的解答が得られる。
• Morton–Silverman予想は、楕円曲線上の2-同一型を介して、数体上のアーベル多様体における捩れ点の一様有界性を含意する。
• XおよびSが準射影的であるとき、質問3.2（有理点の有界次数拡張上での非周期的点の一様有界性）は、D=1の基本ケースと同値である。これはスカラーの制限を用いた構成による。
• スカラーの制限の構成により、基本体上での一体的有界性が、Xがアフィンでない場合でも、すべての次数Dの拡張上での一体的有界性を保証する。