[論文レビュー] Uniform in time estimates for the weak error of the Euler method for SDEs and a Pathwise Approach to Derivative Estimates for Diffusion Semigroups

Dan Crisan, Paul Dobson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率的微分方程式（SDE）のオイラースキームについて、時間に一様な弱誤差収束の十分条件を確立する。その根拠は、関連する拡散半群の空間微分の指数的減衰と、オイラー近似における一様なモーメントバウンズに依存する。主な貢献は、大偏差原理を用いた、非一様な係数条件のもとでの導出推定に対する新しいパスワイズアプローチであり、ベクトル場およびその交換子に非一様な強制的条件が課せられる場合でも結果を得られる。

ABSTRACT

We present a criterion for uniform in time convergence of the weak error of the Euler scheme for Stochastic Differential equations (SDEs). The criterion requires i) exponential decay in time of the space-derivatives of the semigroup associated with the SDE and ii) bounds on (some) moments of the Euler approximation. We show by means of examples (and counterexamples) how both i) and ii) are needed to obtain the desired result. If the weak error converges to zero uniformly in time, then convergence of ergodic averages follows as well. We also show that Lyapunov-type conditions are neither sufficient nor necessary in order for the weak error of the Euler approximation to converge uniformly in time and clarify relations between the validity of Lyapunov conditions, i) and ii). Conditions for ii) to hold are studied in the literature. Here we produce sufficient conditions for i) to hold. The study of derivative estimates has attracted a lot of attention, however not many results are known in order to guarantee exponentially fast decay of the derivatives. Exponential decay of derivatives typically follows from coercive-type conditions involving the vector fields appearing in the equation and their commutators; here we focus on the case in which such coercive-type conditions are non-uniform in space. To the best of our knowledge, this situation is unexplored in the literature, at least on a systematic level. To obtain results under such space-inhomogeneous conditions we initiate a pathwise approach to the study of derivative estimates for diffusion semigroups and combine this pathwise method with the use of Large Deviation Principles.

研究の動機と目的

• SDEのオイラー法における時間に一様な弱誤差収束の十分条件を確立すること。
• 非一様な強制的条件のもとで、拡散半群の導出推定を導くパスワイズ手法を開発すること。
• ライアプノフ条件、半群の導出の指数的減衰、およびオイラースキームのモーメントバウンズの間の関係を明確にすること。
• 時間に一様な弱誤差収束が、エルゴード平均の収束を示すことの意味を示すこと。
• 強制的タイプの条件が空間的に非一様である場合に、半群の導出の指数的減衰を満たす十分条件を提供すること。

提案手法

• 流れの微分過程およびその高階微分に依存する、拡散半群のパスワイズ導出推定のアプローチを導入する。
• 大偏差原理を用いて流れおよびその微分の尾部挙動を制御し、指数的減衰推定を可能にする。
• この手法を用いて、ベクトル場およびその交換子に非一様な強制的条件が課せられる場合の、半群の空間微分の指数的減衰の十分条件を導出する。
• パスワイズ導出推定とオイラー近似のモーメントバウンズを組み合わせ、時間に一様な弱誤差収束を確立する。
• 離散的オイラースキームの連続時間補間を用いて、連続時間における弱誤差を分析する。
• 伊藤の公式およびテイラー展開を用いて、特に双曲余弦関数のような非線形テスト関数に対し、オイラー近似のモーメントをバウンディングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDEのオイラースキームの弱誤差が、時間の長さに依存せずに一様に収束する条件は何か？
• RQ2 ベクトル場およびその交換子に非一様な強制的条件が課せられる場合、拡散半群の空間微分の指数的減衰を保証できるか？
• RQ3 ライアプノフ型条件、指数的導出減衰、およびオイラースキームのモーメントバウンズの間の関係は何か？
• RQ4 パスワイズ導出推定手法を用いることで、一様な強制的性質を仮定せずに、時間に一様な弱誤差バウンズを導出できるか？
• RQ5 時間に一様な弱誤差収束は、オイラースキームのエルゴード平均の収束を示すか？

主な発見

• 半群の導出の指数的減衰と、オイラー近似における一様なモーメントバウンズの2条件が満たされれば、時間に一様な弱誤差バウンズ $ \sup_{t\geq 0}|\mathbb{E}[\varphi(X_t)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_t^\delta)]| \leq K\delta $ が確立される。
• やや滑らかさの仮定のもとで、半群の導出の指数的減衰は、時間に一様な弱誤差収束の必要十分条件であることが示された。
• 本稿では、指数的導出減衰とモーメントバウンズの両方が独立しては、時間に一様な弱誤差収束を保証しない例を構成した。
• パスワイズ導出推定手法を、非一様強制性を有するSDEのクラスに適用し、導出の指数的減衰のための新しい十分条件を導出した。
• この手法は、退化したノイズに対してもロバストであるが、主結果では明確さのため非退化ノイズを仮定しており、退化系への拡張は今後の課題として示唆されている。
• 時間に一様な弱誤差収束は、エルゴード平均の収束を含意する。これはコロナリー3.6で示された。