[論文レビュー] Uniform measures and convolution on topological groups

Jan Pachl|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、局所凸群上の畳み込み理論における一様測度の基礎的役割を、有界一様連続関数上の汎関数として測度を扱うことで確立する。畳み込みが一様測度に対して適切に定義され、連続であることを証明し、これらの結果を半一様半群へと拡張し、畳み込み代数の位相的中心が右一様構造に関する群の完備化と一致することを示す。

ABSTRACT

Uniform measures are the functionals on the space of bounded uniformly continuous functions that are continuous on every bounded uniformly equicontinuous set. This paper describes the role of uniform measures in the study of convolution on an arbitrary topological group.

研究の動機と目的

• 局所凸群上の畳み込み理論における一様測度の役割を明確化すること。
• 有界一様連続関数上の汎関数を用いた畳み込みの関数解析的枠組みを確立すること。
• 一様測度の直積の構造から畳み込みの連続性および代数的性質を導出すること。
• 局所凸群からの結果を半一様半群へと一般化すること。
• 一様測度およびコンパクト化を用いて畳み込み代数の位相的中心を特徴付けること。

提案手法

• 一様測度は、一様に等連続な集合上で連続である有界一様連続関数空間上の汎関数として定義される。
• 積空間上の一様構造を用いて、二つの汎関数の直積が定義され、一様測度に対してFubini型定理が成立する。
• 群演算による直積のプッシュフォワードとして畳み込みが定義され、写像 $\mathbf{M}(m_G)$ を用いる。
• 局所凸群 $G$ の右一様構造を用いて、一様コンパクト化 $\overline{rG}$ および完備化 $\widehat{rG}$ が定義される。
• $\mathbf{M}_u(G)$ 内の乗法的汎関数は、$G$ の右一様構造に関する完備化 $\widehat{rG}$ の元として特徴付けられる。
• 一様連続作用 $\alpha$ を持つ一様空間 $Y$ における半群 $\mathbf{M}(S)$ の作用により、一般化畳み込み $\mu \star \nu = \mathbf{M}(\alpha)(\mu \otimes \nu)$ が定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様測度は、局所凸群上の畳み込み解析をどのように支援するか？
• RQ2 一様測度の観点から、畳み込みの連続性を保証する条件は何か？
• RQ3 畳み込みに関する結果を、局所凸群を超えてより一般的な代数的構造へと拡張可能か？
• RQ4 畳み込み代数の位相的中心と、右一様構造に関する群の完備化との関係は何か？
• RQ5 位相的中心 $\Lambda(\overline{rG})$ が完備化 $\widehat{rG}$ と一致する条件は何か？

主な発見

• 一様測度は、一様に等連続な集合上で連続である $\mathbf{M}_u(X)$ の汎関数として正確に特定され、$\mathbf{M}(X)$ の閉部分空間をなす。
• 二つの一様測度の直積は適切に定義され、一様積位相においてFubini型定理を満たす。
• 任意の局所凸群 $G$ に対して、右一様構造に関する一様コンパクト化 $\overline{rG}$ の元 $\mu, \nu$ に対して畳み込み $\mu \star \nu$ は定義され、連続である。
• $G$ の右一様構造に関する完備化 $\widehat{rG}$ は、位相的中心 $\Lambda(\overline{rG})$ に含まれており、$\omega$-有界群では等号が成り立つ。
• $\mathbf{M}(S)$ 上の畳み込み演算は、半一様半群へ自然に拡張され、連続性および代数的構造が保たれる。
• 一様空間 $Y$ に一様に作用する半一様半群 $S$ に対して、一般化畳み込み $\mu \star \nu = \mathbf{M}(\alpha)(\mu \otimes \nu)$ は連続であり、半群作用を尊重する。