[論文レビュー] Uniform minorization condition and convergence bounds for discretizations of kinetic Langevin dynamics

Alain Durmus, Aurélien Enfroy+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、広範な数値解法に適用可能な時間離散化された運動的ランジュバン力学の均一な最小化条件および幾何的ドリフト条件を確立し、全 variation 範囲および $V$-ノルムにおける収束バウンドをステップサイズに線形に依存する形で得た。主な貢献は、ステップサイズに依存しない幾何的エルゴード性の結果であり、分子動力学およびベイズ推論における信頼性の高いサンプリングを保証する上で不可欠である。

ABSTRACT

We study the convergence in total variation and $V$-norm of discretization schemes of the underdamped Langevin dynamics. Such algorithms are very popular and commonly used in molecular dynamics and computational statistics to approximatively sample from a target distribution of interest. We show first that, for a very large class of schemes, a minorization condition uniform in the stepsize holds. This class encompasses popular methods such as the Euler-Maruyama scheme and the schemes based on splitting strategies. Second, we provide mild conditions ensuring that the class of schemes that we consider satisfies a geometric Foster--Lyapunov drift condition, again uniform in the stepsize. This allows us to derive geometric convergence bounds, with a convergence rate scaling linearly with the stepsize. This kind of result is of prime interest to obtain estimates on norms of solutions to Poisson equations associated with a given numerical method.

研究の動機と目的

• 時間離散化された運動的ランジュバン力学の広範なクラスの数値スキームに対して、均一な最小化条件を確立すること。
• ステップサイズに一様な幾何的フォスター＝ライアプノフドリフト条件を導出し、安定性と収束を保証すること。
• ステップサイズ $\gamma$ に線形に依存する全 variation 範囲および $V$-ノルムにおける定量的収束バウンドを提供すること。
• 統計的推論および分子動力学に現れるポアソン方程式の解の解析を支援するため、均一エルゴード性を保証すること。
• 非勾配型ドリフトおよび非平衡状態を含む、非定常（運動的）ランジュバン力学への既存の収束理論の拡張すること。

提案手法

• エネルギーに類似した挙動を捉えるために、二次的およびポテンシャル項を組み合わせたリャプノフ関数 $\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi}$ を導入する。
• カップリング論法および超局所性を用いて、すべての $\gamma \leq \bar{\gamma}_{U}$ に対して有効な、ステップサイズに依存しない均一な最小化条件を確立する。
• 幾何的ドリフト条件 $R_{\gamma}\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi} \leq \lambda_{U}^{\gamma}\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi} + \gamma b_U$ を導出し、$\lambda_U^\gamma < 1$ により幾何的エルゴード性を保証する。
• 移動密度のバウンドを支援するため、マリヤン・微積分およびパラメトリックス法を用いる。
• 離散化における摂動を制御するため、$\phi_\gamma$ および $\Gamma_\gamma$ のリプシッツ連続性と一様有界性を適用する。
• 時間平均カップリング戦略および指数モーメントバウンドを用いて、一様収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動的ランジュバン力学の広範なスキームクラスに対して、ステップサイズに一様な最小化条件を確立できるか？
• RQ2 これらのスキームは、ステップサイズ $\gamma$ に一様に幾何的フォスター＝ライアプノフドリフト条件を満たすか？
• RQ3 このようなスキームの収束速度はステップサイズ $\gamma$ にどのように依存するか？
• RQ4 得られた収束バウンドは、統計的応用におけるポアソン方程式の解の解析に利用可能か？
• RQ5 結果は非勾配型ドリフトおよび非平衡ダイナミクスにどのように拡張可能か？

主な発見

• Euler–Maruyama 法や分割に基づく手法を含む、広範なスキームクラスに対して、すべての $\gamma \leq \bar{\gamma}_{U}$ で均一な最小化条件が成立する。
• 幾何的ドリフト条件は $\gamma$ に一様に成立し、$R_{\gamma}\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi} \leq \lambda_{U}^{\gamma}\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi} + \gamma b_U$ と表され、$\lambda_U^\gamma < 1$ を満たす。
• 全 variation 範囲および $V$-ノルムにおける収束速度は、ステップサイズに線形に依存し、$\log(\rho_\gamma) \propto \gamma$ と表される。
• 非幾何的項の均一制御を保証するためのバウンド $b_U = (\mathscr{K} - \log \lambda_U) \mathrm{e}^{\mathscr{K} \bar{\gamma}_U + \varpi_U(1 + \mathfrak{C}_\phi K_U)}$ が有効である。
• リャプノフ関数 $\overline{\mathpzc{W}}_{\gamma,\varpi}$ が非負であり、$\mathfrak{C}_\phi$ および $c_{\mathpzc{W}}$ を用いて一様有界であることが示された。
• $\phi_\gamma$ および $\Gamma_\gamma$ のリプシッツ連続性が、一様定数を用いて証明され、摂動下での安定性解析が可能となった。