[論文レビュー] Uniform Stability and Error Analysis for Some Discontinuous Galerkin Methods

Qingguo Hong, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、パラメータに依存するノルムを導入し、Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB) 理論を適用することで、ハイブリッド不連続ガレルキン (HDG) 法およびウェイク・ガレルキン (WG) 法の均一安定性と最適誤差推定を確立した。HDG法が安定化パラメータが0に近づく極限で原初的適合法に収束し、WG法が混合適合法に収束することを証明し、誤差境界がこれらのパラメータに依存しないことを示した。

ABSTRACT

In this paper, we provide a number of new estimates on the stability and convergence of both hybrid discontinuous Galerkin (HDG) and weak Galerkin (WG) methods. By using the standard Brezzi theory on mixed methods, we carefully define appropriate norms for the various discretization variables and then establish that the stability and error estimates hold uniformly with respect to stabilization and discretization parameters. As a result, by taking appropriate limit of the stabilization parameters, we show that the HDG method converges to a primal conforming method and the WG method converge to a mixed conforming method.

研究の動機と目的

• 安定化パラメータおよびメッシュパラメータに関して、HDG法およびWG法の均一安定性と最適誤差推定を確立すること。
• 安定化パラメータが0に近づく極限において、HDG法が原初的適合法に収束し、WG法が混合適合法に収束することを示すこと。
• すべてのパラメータ値において安定性と誤差境界が一様に保たれるように、パラメータに依存するノルムを構築すること。
• 適切な変分式を構築することで、LBB理論をHDG法およびWG法に適用可能にする。
• 安定化パラメータに依存しない、不連続ガレルキン法における収束性と安定性を統一的に分析する枠組みを提供すること。

提案手法

• パラメータに依存するノルムを巧みに構築することで、Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB) 理論を応用し、HDG法およびWG法の均一安定性を導出する。
• 安定化パラメータとメッシュサイズを組み込んだノルムを定義し、すべてのパラメータ値において一様有界性を保証する。
• HDG法およびWG法の変分式を用いて、安定化パラメータに依存しない事前誤差推定を導出する。
• 射影に基づく解析フレームワークを構築し、離散解と連続解との関係を確立することで、最適収束率を達成する。
• エネルギー的恒等式を導出し、パラメータ化された定数を用いたヤングの不等式を適用して残差項を評価する。
• 極限解析により、安定化パラメータが0に近づくとき、HDG法およびWG法が標準的適合ガレルキン法に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化パラメータのすべての値において、HDG法およびWG法の均一安定性を確立できるか？
• RQ2 HDG法およびWG法の誤差推定は、安定化パラメータに依存せず最適であるか？
• RQ3 安定化パラメータが0に近づく極限において、HDG法およびWG法はどのように振る舞うか？
• RQ4 適切なノルムの選択により、LBB理論をHDG法およびWG法に効果的に適用できるか？
• RQ5 安定化パラメータが0に近づく極限において、HDG法およびWG法の離散解は、標準的適合ガレルキン法の解とどのように関係するか？

主な発見

• パラメータに依存するノルムの下で、HDG法およびWG法の均一安定性が証明され、安定化パラメータおよびメッシュサイズに依存しない境界が得られた。
• HDG法およびWG法の両方において、最適誤差推定が確立され、収束率が安定化パラメータに依存しないことが示された。
• 安定化パラメータが0に近づく極限において、HDG法は原初的適合ガレルキン法に収束する。
• 安定化パラメータが0に近づく極限において、WG法は混合適合ガレルキン法に収束する。
• 解析により、HDG法およびWG法が適合法に収束する過程が、すべてのパラメータ値において頑健で一様であることが確認された。
• 提案されたノルムと安定性フレームワークにより、古典的LBB理論を用いてHDG法およびWG法を統一的に取り扱うことが可能になった。