[論文レビュー] Uniform stabilization for linear systems with persistency of excitation. The neutrally stable and the double integrator cases

Antoine Chaillet, Yacine Chitour+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2007

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、持続的に励起される（PE）制御信号を用いた線形システムに対して、一様安定化を確立している。$ A $ が中立安定であるか、または二重積分器である場合、固定された線形時不変（LTI）状態フィードバック $ K $ が、全空間において漸近的に安定化できることを証明している。主な結果は、このような安定化ゲイン $ K $ が存在し、$ (A,B) $、$ \mu $、$ T $ のみに依存することである。制御信号 $ \alpha(t) $ が区間でゼロになる場合でも、PE 条件が満たされていれば成立する。

ABSTRACT

Consider the controlled system $dx/dt = Ax + α(t)Bu$ where the pair $(A,B)$ is stabilizable and $α(t)$ takes values in $[0,1]$ and is persistently exciting, i.e., there exist two positive constants $μ,T$ such that, for every $t\geq 0$, $\int_t^{t+T}α(s)ds\geq μ$. In particular, when $α(t)$ becomes zero the system dynamics switches to an uncontrollable system. In this paper, we address the following question: is it possible to find a linear time-invariant state-feedback $u=Kx$, with $K$ only depending on $(A,B)$ and possibly on $μ,T$, which globally asymptotically stabilizes the system? We give a positive answer to this question for two cases: when $A$ is neutrally stable and when the system is the double integrator.

研究の動機と目的

• 制御信号 $ \alpha(t) $ が持続的に励起されるが、区間でゼロになる可能性がある状況においても、固定された線形時不変（LTI）状態フィードバック $ K $ が線形システムを安定化できるかどうかを同定すること。
• 制御入力 $ \alpha(t)Bu $ が区間で不活性化されるため、一時的に制御不能となるようなシステムの安定化という課題に対処すること。
• 制御信号のスイッチング時刻の正確な知識を必要とせず、システム行列 $ (A,B) $ および PE パrameter $ \mu, T $ のみを用いて、安定化の構成的解法を提供すること。
• 平均化安定化の概念をスカラーでなく、平均化不能な多変数系に拡張し、PE 条件下で普遍的安定化ゲイン $ K $ の存在を証明すること。

提案手法

• 著者たちは、$ \alpha(t) \in [0,1] $ であり、任意の $ t \geq 0 $ に対して $ \int_t^{t+T} \alpha(s)ds \geq \mu $ を満たす PE 信号を有するシステム $ \dot{x} = Ax + \alpha(t)Bu $ を分析する。ここで $ \mu, T > 0 $ である。
• 中立安定の場合、Lyapunov を用いた議論とシステムのダイナミクスの構造を用いて、固定された $ K $ がすべての such $ \alpha(t) $ に対して一様にシステムを安定化できることを示している。
• 二重積分器の場合、$ A $ の冪零構造を活用し、Brunovsky 正規形への変換を用いて問題をスカラー型のシステムに還元している。
• 弱-$ \star $ 収束を $ L^\infty $ で適用し、Gronwall の不等式を用いて $ \alpha $ に関する解の連続性を証明し、PE 信号の摂動に対しても安定性が保たれることを保証している。
• フルランク $ B $ の場合の証明では、座標変換によりシステムを $ \dot{x} = Ax + \alpha u $ に簡略化し、$ u = -kx $ とおくことで、変換後のシステムが $ \dot{y} = -k\alpha y $ を満たし、指数的減衰を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御信号 $ \alpha(t) $ が持続的に励起されるが、区間でゼロになる可能性がある場合に、固定された線形時不変状態フィードバック $ K $ が線形システムを安定化できるか？
• RQ2 制御信号 $ \alpha(t) $ のスイッチングパターンをリアルタイムで知らなくても、$ (A,B) $、$ \mu $、$ T $ のみを用いて、全空間における漸近的安定化が可能か？
• RQ3 持続的励起条件が、システムが軌道の一部で制御不能になる場合でも、単一の固定された $ K $ を用いて安定化を保証するのに十分か？
• RQ4 スカラー系における平均化の直観が、非平均化可能な多変数系（例：二重積分器）に拡張可能か？
• RQ5 $ A $ と $ B $ にどのような条件が課されると、PE 制御信号下で普遍的安定化ゲイン $ K $ が得られるか？

主な発見

• 中立安定な $ A $ の場合、任意の $ \alpha(t) \in \mathcal{G}(T,\mu) $ に対して、固定された $ K $ が存在し、閉ループシステムが全空間において漸近的に安定になる。信号のスイッチング行動に依存しない。
• 二重積分器系では、$ \alpha(t) $ が区間でゼロになる場合でも、固定された $ K $ が任意の PE 信号に対して一様にシステムを安定化できる。
• $ \mathrm{rank}(B) = 2 $ の場合、システム $ \dot{x} = Ax + \alpha Bu $ は固定された $ K $ によって一様に安定化され、座標変換によるスカラー型システムへの還元に依存する。
• 安定化ゲイン $ K $ は $ (A,B) $、$ \mu $、$ T $ のみに依存し、$ \alpha(t) $ の具体的な形には依存しないため、信号の不規則性に対してもロバストである。
• 弱-$ \star $ 収束における解の均一収束が証明され、PE 信号の摂動に対しても安定性が保たれることを保証している。
• スカラー系における直感的な平均化の考え方は、高次元系に直接拡張できないが、固定された $ K $ が still PE 条件下で安定化を保証することが示された。