[論文レビュー] Uniform subellipticity

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、L²(Rᵈ) 上の正の対称な2階微分作用素に対して一様な劣微分性を確立し、係数の滑らかさ条件（例えば、W^{m+1,∞} または Cᵇ∞ に属する場合）の下で、自己共役作用素 H の α 乗の定義域が、Sobolev 空間 D(Δ^{αγ}) に連続的に埋め込まれることを証明する。この結果は、係数が滑らかで有界である場合には、すべての α ≥ 0 に対して拡張される。

ABSTRACT

We establish two global subellipticity properties of positive symmetric second-order partial differential operators on L2(R d). First, if m ∈ N then we consider operators H0 with coefficients in W m+1, ∞ (R d) and domain D(H0) = W ∞,2 (R d) satisfying the subellipticity property c (ϕ, (I + H0)ϕ) ≥ ‖ ∆ γ/2 ϕ ‖ 2 2 for some c> 0 and γ ∈ 〈0, 1], uniformly for all ϕ ∈ W ∞,2 (R d), where ∆ denotes the usual Laplacian. Then we prove that D(H α) ⊆ D( ∆ αγ) for all α ∈ [0, 2 −1 (m + 1 + γ −1)〉. Hence there is a c> 0 such that the norm estimate c ‖(I + H) α ϕ‖2 ≥ ‖ ∆ αγ ϕ‖2 is valid for all ϕ ∈ D(H α) where H denotes the self-adjoint closure of H0. In particular, if the coefficients of H0 are in C ∞ b (Rd) then the conclusion is valid for all α ≥ 0. Secondly, we prove that if

研究の動機と目的

• L²(Rᵈ) 上の正の対称な2階微分作用素に対するグローバルな劣微分性の性質を確立すること。
• 係数の正則性仮定の下で、定義域の包含関係 D(H^α) ⊆ D(Δ^{αγ}) の正確な特定。
• 指定された範囲の α に対して、形式 c‖(I + H)^αϕ‖₂ ≥ ‖Δ^{αγ}ϕ‖₂ に従う一様なノルム推定を得ること。
• 係数が Cᵇ∞(Rᵈ) に属する場合に、結果をすべての α ≥ 0 に拡張すること。

提案手法

• W^{m+1,∞}(Rᵈ) に係数を含む作用素 H₀ と、定義域 D(H₀) = W^{∞,2}(Rᵈ) を考える。
• すべての ϕ ∈ W^{∞,2}(Rᵈ) に対して、ある c > 0 と γ ∈ (0,1] に対して、c(ϕ, (I + H₀)ϕ) ≥ ‖Δ^{γ/2}ϕ‖₂² が一様に成り立つ劣微分性条件を用いる。
• 関数計算と自己共役拡張理論を用いて、H₀ の自己共役閉包 H を定義する。
• 補間とSobolev空間の埋め込みを活用し、γ 劣微分性条件を用いて定義域の包含関係を確立する。
• L²ノルムにおいて (I + H)^αϕ と Δ^{αγ}ϕ を比較することで、ノルム推定を得る。
• m → ∞ の極限において、一様な有界性を用いて、Cᵇ∞(Rᵈ) 係数への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階微分作用素 H₀ の係数にどのような条件を課すと、H^α の定義域が D(Δ^{αγ}) に連続的に埋め込まれるか？
• RQ2 係数の正則性（例えば、W^{m+1,∞} または Cᵇ∞ に属する場合）は、ノルム推定 c‖(I + H)^αϕ‖₂ ≥ ‖Δ^{αγ}ϕ‖₂ が成り立つ α の範囲にどのように影響するか？
• RQ3 γ ∈ (0,1] である劣微分性条件が、Δ^{αγ}ϕ の一様な制御を保証するための最適な指数範囲 α は何か？
• RQ4 係数が滑らかで有界である場合に、定義域の包含関係とノルム推定をすべての α ≥ 0 に拡張できるか？
• RQ5 一様な劣微分性定数 c は、作用素の係数とパrameter γ にどのように依存するか？

主な発見

• H₀ が W^{m+1,∞}(Rᵈ) に係数を含む場合、すべての α ∈ [0, ½(m + 1 + γ⁻¹)) に対して、定義域の包含関係 D(H^α) ⊆ D(Δ^{αγ}) が成り立つ。
• すべての ϕ ∈ D(H^α) および上記の α に対して、ある c > 0 が存在し、c‖(I + H)^αϕ‖₂ ≥ ‖Δ^{αγ}ϕ‖₂ が成り立つ。
• 係数が Cᵇ∞(Rᵈ) に属する場合、定義域の包含関係とノルム推定はすべての α ≥ 0 に拡張される。
• γ ∈ (0,1] である劣微分性条件 c(ϕ, (I + H₀)ϕ) ≥ ‖Δ^{γ/2}ϕ‖₂² は、高階のSobolevノルムに対する一様な制御を保証するのに十分である。
• 結果は、係数の滑らかさと劣微分性パrameter γ に依存する指数範囲の鋭い依存関係を提供する。
• 証明は補間理論と関数計算に依拠し、劣微分性と解のSobolev正則性の間の橋渡しを確立する。