[論文レビュー] Heat kernel estimates for non-symmetric stable-like processes

Peng Jin|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、可変指数と移動項を有する非対称安定型コーシー過程のための鋭い両側ヒートカーネル推定値を、ホルダー連続で非対称なリーヴィー飛躍測度を許容する一般化された積分微分作用素を用いて確立する。主な貢献は、飛躍強度に最小限の正則性仮定のもとで、連続的かつ両側の上限・下限を伴う連続的かつ jointly 連続な遷移密度の存在を証明することであり、従来の結果を非対称な場合に拡張する。

ABSTRACT

Let $d\ge1$ and $01}b(x)\cdot abla f(x), \] where $χ_α(h):=\mathbf{1}_{α>1}+\mathbf{1}_{α=1}\mathbf{1}_{\{|h|\le1\}}$, $b:\mathbb{R}^{d} o\mathbb{R}^{d}$ is bounded measurable, and $n:\mathbb{R}^{d} imes\mathbb{R}^{d} o\mathbb{R}$ is measurable and bounded above and below respectively by two positive constants. Further, we assume that $n(x,h)$ is Hölder continuous in $x$, uniformly with respect to $h\in\mathbb{R}^{d}$. In the case $α=1,$ we assume additionally $\int_{\partial B_{r}}n(x,h)h\mathrm{d}S_{r}(h)=0$, $\forall r \in (0,\infty)$, where $\mathrm{d}S_{r}$ is the surface measure on $\partial B_{r}$, the boundary of the ball with radius $r$ and center $0$. In this paper, we establish two-sided estimates for the heat kernel of the Markov process associated with the operator $\mathcal{L}$. This extends a recent result of Z.-Q. Chen and X. Zhang.

研究の動機と目的

• 対称な安定型過程に限らない鋭いヒートカーネル推定値を、可変飛躍強度を有する非対称な安定型過程へ拡張すること。
• 非対称な積分微分作用素と関連するマコフ過程のための、 jointly 連続な遷移密度の存在を確立すること。
• 飛躍強度関数 $ n(x,h) $ に対して最小限の正則性仮定（$ x $ におけるホルダー連続性と $ h $ における非対称性を含む）のもとで、ヒートカーネルの両側推定値を導出すること。
• 有界な移動項 $ b(x) \cdot \nabla f(x) $ を作用素に組み込みつつ、ヒートカーネル推定値を維持すること。
• 提示された仮定のもとで、作用素のマーチングレ問題が適切に定義されており、一意なマコフ過程の存在が保証されることを検証すること。

提案手法

• 非対称飛躍核 $ n(x,h)/|h|^{d+\alpha} $ を持つ積分微分作用素 $ \mathcal{L} $ を定式化し、$ n(x,h) $ が $ x $ で有界かつホルダー連続であり、$ \alpha > 1 $ のとき移動項を含む。
• マーチングレ問題のアプローチを用いて、関連するマコフ過程 $ (X, \mathbf{L}^x) $ の存在と一意性を確立し、[19] の適切な定義結果に依拠する。
• レヴィの方法と摂動技法を用いて遷移密度 $ l(t,x,y) $ を構成し、リゾルベント展開とグリーン関数の推定値を用いてその jointly 連続性を証明する。
• リゾルベントカーネルと基準安定過程の遷移密度の推定値を用いて、$ l(t,x,y) $ および $ |\nabla_x l(t,x,y)| $ の上界を確立する。
• 経路的推定値、強マルコフ性、および飛躍時刻のポアソン型マルティンゲール構造を組み合わせることで、$ l(t,x,y) $ の下界を証明する。
• チェインプ・コルモゴロフ方程式の反復的適用と、出退時間の推定値を用いて、局所的な下界を時間区間 $ (0,T] $ 全体にわたってグローバルなものへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称でホルダー連続な飛躍強度を有する非対称安定型過程に対して、両側ヒートカーネル推定値を確立できるか？
• RQ2 有界な移動項が、非対称安定型設定におけるヒートカーネル推定値にどのように影響を与えるか？
• RQ3 飛躍強度 $ n(x,h) $ が $ h $ に対して非対称であるとき、遷移密度の正確なスケーリングおよび正則性特性は何か？
• RQ4 どのような条件下で、このような非対称作用素のマーチングレ問題が、 jointly 連続な遷移密度を有する一意な解をもつのか？
• RQ5 ヒートカーネルの下界は、局所的スケール $ |x-y| \leq t^{1/\alpha} $ を超えて、グローバルな空間時間領域へ拡張可能か？

主な発見

• 仮定 1.1 と 1.3 の下で、作用素 $ \mathcal{L} $ に関連するマコフ過程は、すべての $ t > 0 $、$ x,y \in \mathbb{R}^d $ に対して、 jointly 連続な遷移密度 $ l(t,x,y) $ を有する。
• 両側推定値が確立された：すべての $ t \in (0,T] $ に対して、$ |x-y| \leq t^{1/\alpha} $ のとき $ l(t,x,y) \asymp t^{-d/\alpha} $ であり、定数は $ d, \alpha, \kappa_0, \kappa_1, \kappa_2, \theta, \kappa_3 $ のみに依存する。
• $ |x-y| > 3c_3 t^{1/\alpha} $ のとき、下界は $ l(t,x,y) \geq c_4 t |x-y|^{-d-\alpha} $ を満たし、プロセスの重尾的性質を示している。
• 上界はすべての $ t \in (0,T] $ に対して $ t^{-d/\alpha} $ のオーダーであり、$ x,y $ に関して一様に成り立つ。これは安定過程のスケーリング挙動を確認する。
• 勾配推定値 $ |\nabla_x l(t,x,y)| \lesssim t^{-1/\alpha} l(t,x,y) $ が成り立ち、空間におけるホルダー正則性を示している。
• 従来の対称安定型過程に関する研究 [9] を非対称な場合に拡張し、$ h $ における $ n(x,h) $ の対称性仮定を排除した。