[論文レビュー] Uniformisation locale des schémas quasi-excellents de caractéristique nulle

Jean-Christophe San Saturnino|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴が零の準優美なスキームに中心を持つ価値の埋め込み局所標準化を、ランク1の価値に還元し、無限の価値を持つ元のイデアルを特異点解消し、主要多項式を単項型化することで確立する。主な結果は、極限主要多項式が存在しないという条件下で、あらゆる特徴において有効な単項型化定理であり、これは特徴が零の状況では常に満たされるため、主要多項式技法と逐次的 blown-up を用いてこの設定における局所標準化を証明する。

ABSTRACT

We prove an embedded local uniformization theroem for a valuation centered on a point of a quasi-excellent scheme of characteristic zero. The proof reduces to valuations of rank 1 and consists in desingularizing the ideal formed by the elements of infinite value and monomializing the key polynomials. We then prove a monomialization theorem valid in all characteristic under certain conditions, including that of non-existence of limit key polynomials, a condition that is always satified in characteristic zero.

研究の動機と目的

• 特徴が零の準優美なスキームに中心を持つ価値の埋め込み局所標準化定理を確立すること。
• 文献に既知の還元結果（Novacoski–Spivakovsky, 2012）を用いて、問題をランク1の価値に還元すること。
• 局所環の完備化における無限の価値を持つ元のイデアルを解消すること。
• 局所 blown-up の系列を用いて主要多項式を単項型化し、単項型の形を保つこと。
• 極限主要多項式が存在しない条件の下で、あらゆる特徴において有効な単項型化定理を証明すること。この条件は特徴が零の状況では常に満たされる。

提案手法

• 既知の還元結果（Novacoski–Spivakovsky, 2012）を用いて、問題をランク1の価値に還元する。
• 完備化 $ ilde{S}$ における無限の価値を持つ元のイデアル $ar{H}$ を特定し、これは素イデアルであり、暗黙の素イデアルと呼ばれる。
• S が準優美であることから、$ ilde{S}_{ar{H}}$ が正則であることが従う。これにより、問題は $ ilde{S}/ar{H}$ の正則性と単項型化に帰着される。
• Cohen の構造定理を用いて、$ ilde{S}/ar{H}$ を正則な完備局所環 $R$ の商として表現し、$R/H$ を考察する。
• 埋め込み次元に関する帰納法を用い、主要多項式を用いて、単項型の形を保つ blown-up を誘導する。
• 特徴が零の状況では、極限主要多項式が存在しない（補題 3.13）ことが示され、再帰的 blown-up と平行移動を用いた有限ステップでの単項型化が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が零の準優美なスキームに中心を持つ価値について、主要多項式技法と blown-up を用いて埋め込み局所標準化を達成できるか。
• RQ2 任意の特徴において、特に極限主要多項式が存在しない場合に、主要多項式の単項型化がどのような条件下で成功するか。
• RQ3 特徴が零の状況では極限主要多項式が存在しないという事実が、有限ステップでの単項型化およびそれによる局所標準化を保証するか。
• RQ4 完備化の構造と暗黙の素イデアル $ar{H}$ を用いて、標準化問題を商環の単項型化に還元できるか。
• RQ5 逐次的局所 blown-up が主要多項式に適用された際に、単項型の形をどのように保ち、特徴が零の状況ではなぜ終了が保証されるか。

主な発見

• 完備化 $ ilde{S}$ における無限の価値を持つ元のイデアル $ar{H}$ は素であり、S が準優美であるとき $ ilde{S}_{ar{H}}$ は正則である。
• 特徴が零の状況では極限主要多項式が存在しない（補題 3.13）ため、有限ステップで単項型化が可能である。
• すべての主要多項式が単項式となるような局所 blown-up の系列を構成可能であり、一度単項型化された後も、その後の blown-up においても単項型の形が保たれる。
• 単項型化プロセスは有効的かつ構成的である。これは、$ ilde{S}/ar{H}$ を正則化し、すべての要素を主要多項式分解を用いて単項型化する blown-up の系列を導く。
• 主な結果は、極限主要多項式の非存在に依拠する、特徴が零の準優美なスキームにおける埋め込み局所標準化の証明である。
• 本手法は、すべての無限に近い点と中間の blown-up を事前に完全に記述可能であり、解消プロセス全体に対してグローバルな制御を提供する。