[論文レビュー] Uniformly accurate exponential-type integrators for klein-gordon equations with asymptotic convergence to classical splitting schemes in the nonlinear schroedinger limit

Simon Baumstark, Erwan Faou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相対論的（$c=1$）および高振動的非相対論的（$c\gg1$）の両 regime において、$c$-依存のステップサイズ制限なしに、第一および第二の収束順序を維持する一様に正確な指数型積分法を導入する。これらのスキームは、$c\to\infty$ の非線形シュレーディンガー極限において、古典的な Lie および Strang 分割法に収束し、最小限の正則性仮定のもとで一様な精度を達成する。

ABSTRACT

We introduce efficient and robust exponential-type integrators for Klein-Gordon equations which resolve the solution in the relativistic regime as well as in the highly-oscillatory non-relativistic regime without any step-size restriction, and under the same regularity assumptions on the initial data required for the integration of the corresponding limit system. In contrast to previous works we do not employ any asymptotic/multiscale expansion of the solution. This allows us derive uniform convergent schemes under far weaker regularity assumptions on the exact solution. In particular, the newly derived exponential-type integrators of first-, respectively, second-order converge in the non-relativistic limit to the classical Lie, respectively, Strang splitting in the nonlinear Schr{ö}dinger limit.

研究の動機と目的

• 高振動的非相対論的領域（$c\gg1$）におけるクライン＝ゴルドン方程式の数値的解法におけるステップサイズ制限なしの課題に取り組む。
• 漸近展開や多スケール展開に依存する既存手法の限界を克服し、$c$-依存の安定性制約を避ける。
• 時間に関して一様収束する積分法を構築し、非線形シュレーディンガー極限において古典的分割法に収束することを保証する。
• 従来の一様正確なスキームよりも弱い正則性仮定のもとで最適な収束速度を達成する。
• 第一および第二の収束順序スキームにおいて、$c\to\infty$ の極限で古典的分割法（Lie および Strang）と整合することを保証する。

提案手法

• 解の漸近展開を避けるために、第二の形式でクライン＝ゴルドン方程式に対する指数型積分法を提案する。
• 方程式の構造に基づく新規な分割戦略を用い、高振動項を直接指数積分法で処理する。
• 第一および第二の収束順序スキーム（式 28 および 81）を導出し、$H^7$ および $H^6$ の正則性仮定のもとで、すべての $c\geq1$ に対して時間に関して一様収束することを保証する。
• $c\to\infty$ の極限において、非線形シュレーディンガー極限系（2）の古典的 Lie および Strang 分割法に収束することを確立する。
• 空間離散化にフーリエ擬スペクトル法（$K=2^{10}$ モード）を適用し、空間的精度をスペクトル的におこなう。
• $c$-依存の分散関係を $\langle\nabla\rangle_c = (I - c^{-2}\Delta)^{1/2}$ を通じて組み込む、修正された指数積分法の定式化を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライン＝ゴルドン方程式に対して、$c$ のすべての値（特に非相対論的極限）において一様収束性を保つ指数型積分法を構築できるか？
• RQ2 これらの積分法は、$c\to\infty$ の非線形シュレーディンガー極限において、古典的 Lie および Strang 分割法に収束するか？
• RQ3 多スケールまたは漸近展開に基づく手法が要求する正則性仮定よりも弱い仮定のもとで、一様収束を達成できるか？
• RQ4 $c\to\infty$ の領域において、指数積分法スキームと古典的分割法スキームとの関係は何か？
• RQ5 数値実験において、さまざまな領域で収束次数および $c$-不変性の観点から、これらのスキームはどのように性能を示すか？

主な発見

• 第一の収束順序指数積分法（28）は、$H^7$ 解に対して、$\sup_t \|z(t)\|_{H^7} + c^{-2}\|\partial_t z(t)\|_{H^6} \leq 1$ の下で、$c$ に依存しない $\mathcal{O}(\tau)$ の $H^1$ 収束を達成する。
• 第二の収束順序指数積分法（81）は、十分に滑らかな解（$H^7$）に対して、$c$ に依存しない $\mathcal{O}(\tau^2)$ の収束を達成する。
• 第二の収束順序スキーム（81）は、$c\to\infty$ の極限において、非線形シュレーディンガー極限系（2）の古典的 Strang 分割法に収束し、$\tau c \geq 1$ の下で誤差 $\|u_*^n - u_{*,\infty}^n\|_r \leq c^{-1}k_r(M_3,T)$ を満たす。
• 数値実験により、$c = 1, 5, 10, \dots, 10000$ の全範囲で $H^1$ ノルムにおける第一および第二の収束順序が確認され、理論的次数と一致する勾配を示す。
• スキームは $c=10000$ に対しても安定かつ正確に保たれ、高振動的領域においてもステップサイズ制限なしにロバストであることを示す。
• Gautschi 型スキームの $c^4\tau^2$ のグローバル誤差を回避し、$c^2\tau < 1$ を必要とするという従来の手法の主要な制限を克服する。