[論文レビュー] Uniformly continuous orbit equivalence of Markov shifts and gauge actions on Cuntz-Krieger algebras

Kengo Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、片側的トポロジカルマルコフシフトにおける連続的軌道同値（COE）の refinement として、一様連続的軌道同値（UCOE）を導入し、クンツ＝クリーガー代数上のゲージ作用と関連付ける。UCOE は強い連続的軌道同値（SCOE）を含むことが示され、逆は成り立たない反例が提示され、符号的動力学およびC*-代数分類における軌道同値関係の階層を明確にする。

ABSTRACT

We introduce a notion of uniformly continuous orbit equivalence as a subequivalence relation of continuous orbit equivalence of one-sided topological Markov shifts. It is described in terms of gauge actions on the associated Cuntz-Krieger algebras and continuous full groups of the Markov shifts.

研究の動機と目的

• 片側的トポロジカルマルコフシフトにおける連続的軌道同値（COE）の部分同値関係として、一様連続的軌道同値（UCOE）を定義し、その性質を研究すること。
• UCOE をマルコフシフト空間の連続的フル群およびクンツ＝クリーガー代数上のゲージ作用を用いて特徴づけること。
• UCOE, SCOE, COE および他の軌道同値関係の関係を明確にし、C*-代数の同型への影響を検討すること。
• UCOE が COE や SCOE を含まない逆方向の反例を提示し、AF代数および $K_0$-群がこれらの類を区別する役割を分析すること。
• 軌道同値関係がクンツ＝クリーガー代数およびその固定部分代数の同型に対応する範囲を調査すること。

提案手法

• 連続関数 $k_1, l_1: X_A \to \bbZ_+$ が、すべての $x \in X_A$ に対して $\sigma_B^{k_1(x)}(h(\sigma_A(x))) = \sigma_B^{l_1(x)}(h(x))$ を満たし、コサイクル関数が一様連続であることを条件として、一様連続的軌道同値を定義する。
• クンツ＝クリーガー代数 $\cO_A$ 上のゲージ作用 $\rho_t^A$ と、特にその固定部分代数 $\cF_A$ 及びその $K_0$-群を用いて UCOE を関連付ける。
• 連続的フル群 $\Gamma_A$ 及びその AF部分群 $\Gamma_A^{\text{AF}}$ を用いて、有限次元部分代数を保存するホメオモルフィズムを特徴づける。
• 軌道同値によって誘導される $\Psi_h: C(X_B, \bbZ) \to C(X_A, \bbZ)$ のホモモルフィズムを用い、$H^A = C(X_A, \bbZ)/\{g - g \circ \sigma_A\}$ 内のコhomology類を比較する。
• 次元群 $K_0(\cF_A)$ 及び $K_0(\cF_A)$ 内のクラス $[1]$ を用いて、非同型な AF代数を区別し、$K_0(\cF_{B_2}) \not\cong K_0(\cF_{A_2})$ を示す。
• 行列 $A_2, A_4, B_2, F_2, B_3, C_3$ を用いて、明示的な反例を構成し、軌道同値の階層における非同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側的トポロジカルマルコフシフトにおいて、一様連続的軌道同値（UCOE）は強い連続的軌道同値（SCOE）を含むか？
• RQ2 UCOE は、クンツ＝クリーガー代数上のゲージ作用およびその固定部分代数を用いて代数的に特徴づけられるか？
• RQ3 UCOE が SCOE を含むという含みの逆は常に成り立つか、反例があるか？
• RQ4 AF固定部分代数 $\cF_A$ 及び $\cF_B$ の $K_0$-群は、UCOE と COE の類をどのように区別するか？
• RQ5 UCOE は、クンツ＝クリーガー代数およびその対角部分代数 $\cD_A$ の同型に対し、どの程度対応するか？

主な発見

• UCOE は SCOE を含む。これは、$c_1 = 1_{X_A}$ および $c_2 = 1_{X_B}$ のとき、コサイクル関数が定数となるため、強い軌道同値が得られることから示される。
• 例として、$\cO_{A_2} \cong \cO_{A_4}$ であるが、UCOE では $\cO_{A_2} \not\cong \cO_{A_4}$ となる場合がある。これは、UCOE が COE よりも強いことを示している。
• AF代数 $\cF_{B_2}$ は $K_0(\cF_{B_2}) \cong \bbZ^3$ かつ $[1] = 3$ であるが、$\cF_{A_2}$ は $K_0(\cF_{A_2}) \cong \bbZ[1/2]$ かつ $[1] = 1$ であるため、$\cF_{B_2} \not\cong \cF_{A_2}$ であり、$\text{UCOE} \not\Rightarrow \text{COE}$ の逆も成り立たない。
• 二通りのシフト $\bar{X}_{A_2}$ と $\bar{X}_{F_2}$ は位相的コンjugートではないが、$\cO_{A_2} \cong \cO_{F_2}$ かつ $\det(\text{id} - A_2) = \det(\text{id} - F_2)$ であるため、COE は成り立つが SCOE は成り立たない。
• 二通りのシフトがコンジュゲートであっても、$\cF_{B_3}$ と $\cF_{C_3}$ は同型でないため、$\text{COE} \not\Rightarrow \text{UCOE}$ の逆も成り立たない。
• 最終的に、一時的片側コンジュゲートから二通りコンジュゲートへの含みの逆は、論文で指摘されているように未解決の問題のまま残っている。