[論文レビュー] Unique determination of several coefficients in a fractional diffusion(-wave) equation by a single measurement

Yavar Kian, Zhiyuan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間分数拡散（波動）方程式における分数階数、拡散係数、対流場、ポテンシャル項といった複数の係数の、部分境界における1つのノイマン境界測定からの一意特定を確立する。著者らは、複素幾何学的オプティクス解と境界積分恒等式を組み合わせた新規な議論により、係数の同定の一意性を証明し、部分データを伴う分数階PDEの逆問題理論を拡張する。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of determining different type of information about a diffusion process, described by ordinary or fractional diffusion equations stated on a bounded domain, like the density of the medium or the velocity field associated with the moving quantities from a single boundary measurement. This properties will be associated with some general class of time independent coefficients that we recover from a single Neumann boundary measurement, on some parts of the boundary, of the solution of our diffusion equation with a suitable boundary input, located on some parts of the boundary.

研究の動機と目的

• 時間分数拡散（波動）方程式における複数の物理的係数を、1つの境界測定から同定する逆問題に取り組む。
• 部分境界データを伴う分数階PDEにおける係数逆問題の一意性結果を拡張する。
• 1つのノイマン測定から、分数階数α、密度ρ、拡散係数a、対流場B、およびポテンシャルcを同時に回復することを確立する。
• リーマン多様体の状況への一般化を行い、境界データから多様体構造および計量の一意特定を証明する。

提案手法

• キャプト導関数を伴う時間分数拡散方程式に特化した複素幾何学的オプティクス解を用いる。
• 境界の部分集合における1つのノイマン境界測定に加え、他の部分集合におけるディリクレ入力を用いる。
• 解とその法線微分に関する積分恒等式を適用し、係数間の関係を導出する。
• 関連する楕円型作用素のスペクトル解析と、一意拡張性の性質に依存する。
• 停留位相法と漸近展開技術を用いて、境界データから係数情報を抽出する。
• 逆問題をディリクレからノイマン写像への等価性に還元し、超仮想逆問題の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数拡散方程式における複数の係数は、1つのノイマン境界測定から一意に特定可能か？
• RQ2 部分境界データを用いて、分数階数α、拡散係数a、対流場B、ポテンシャルcを同時に回復可能か？
• RQ3 分数拡散過程の境界測定から、基礎となるリーマン多様体構造および計量を一意に再構成可能か？
• RQ4 境界の部分集合における部分データの存在が、分数階PDEにおける係数同定の一意性にどのように影響するか？

主な発見

• 分数階数αは、部分境界における1つのノイマン境界測定から一意に特定可能である。
• 適切な正則性および正値性の仮定の下で、時間分数拡散方程式の係数ρ、a、B、cは1つの境界測定から一意に同定可能である。
• 多様体の場合、部分ディリクレからノイマン写像から、リーマン多様体(M,g)およびポテンシャルcは等長写像を除いて一意に特定可能である。
• 証明は、複素幾何学的オプティクス解の構成と、境界測定から導出されたスペクトルデータの使用に依存する。
• 著者らは、境界測定が境界の部分集合に制限されていても、古典的な全境界データ仮定の制限を克服して一意性を確立する。
• 本結果は、古典的拡散（α=1）における既存の一意性結果を、部分データ付きの分数階設定に一般化する。