[論文レビュー] Unique Ergodicity of Harmonic Currents on Singular Foliations of P2

John Erik Fornæss, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的葉を含まず、すべての特異点が双曲的である ℙ² 上の正則foliationに対して、正の調和(1,1)-currentの一意的エルゴド性を確立する。幾何的解析と調和current理論を用いて、foliationに沿った質量1の調和currentの存在と一意性を証明し、強いエルゴド的性質およびホロモルフィック変形の下での関連測度の連続性を示す。

ABSTRACT

Let F be a holomorphic foliation of P^2 by Riemann surfaces. Assume all the singular points of F are hyperbolic. If F has no algebraic leaf, then there is a unique positive harmonic $(1,1)$ current $T$ of mass one, directed by F. This implies strong ergodic properties for the foliation. We also study the harmonic flow associated to the current $T.$

研究の動機と目的

• 正則foliation F が ℙ² 上に存在する場合、質量1の正の調和(1,1)-currentが一意に存在することを確立すること。
• 特に代数的葉を含まない場合に、そのようなfoliationのエルゴド的性質を調査すること。
• foliationのホロモルフィック変形の下で、調和currentおよび関連測度の連続性を分析すること。
• 調和currentが葉空間上に一意な不変測度を誘導し、エルゴド性に関する結果を導くこと。
• 特に代数的葉が存在しない場合に、調和current理論を ℙ² 内の特異正則foliationへ拡張すること。

提案手法

• 著者らが以前に開発した調和current理論、特に特異点を伴うlaminations上での調和currentの存在に関する理論を用いる。
• 局所的に葉上での正の調和関数を用いた横断的積分としてcurrentを表現するためのスライシング技法を適用する。
• 特異点付近の葉上での調和関数の成長と収束を制御するためのハルナック不等式を用いる。
• 双曲的特異点の線形化にピカールの定理を適用し、局所的ダイナミクスと一様推定値を分析する。
• フローボックス内での局所的正則同型写像による押し出し写像の比較を通じて、ホロモルフィック族におけるcurrentの連続性を適用する。
• 不変集合に関する背理法を用いてエルゴド性を確立し、測度がエルゴド的であるか、あるいは両方の補集合で正の |g_T|-測度を持つ非自明な不変集合 E が存在するかのいずれかであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての特異点が双曲的であり、代数的葉を含まない ℙ² 上の正則foliationは、質量1の正の調和(1,1)-currentを一意に持つか？
• RQ2 そのような調和currentのエルゴド的性質は何か？ どのような条件下でエルゴド的であるか？
• RQ3 foliationのホロモルフィック変形の下で、調和currentおよび関連測度はどのように変化するか？
• RQ4 ホロモルフィックfoliation族において、調和currentおよび関連横断測度の連続性を証明できるか？
• RQ5 調和currentのダイナミクスに対して非自明な不変集合が存在するか、それとも測度は必然的にエルゴド的であるか？

主な発見

• すべての特異点が双曲的であり、代数的葉が存在する場合、foliation F に沿った質量1の正の調和(1,1)-current T が一意に存在する。
• 調和current T は一意な横断測度 μ_T を誘導し、H(d) 内のfoliationのホロモルフィック族において λ に関して連続である。
• 測度 μ_T は、ある集合で ||T||-測度が全測度を占める葉の集合において、|g_T|-測度が両方の集合で正であるような不変集合 E が存在しない限り、エルゴド的である。
• 双曲的特異点付近では、ホロモルフィック族内で与えられたfoliationに近いfoliationに対して、μ_T の質量は一様に小さくなる。
• 局所的に T ∧ ω₀ = 0 が成り立ち、ω₀ はfoliationの定義1形式であるため、T が F に沿っていることが確認される。
• ホロモルフィック族における調和currentの族 (T_λ) はパラメータ λ に関して連続であり、関連する測度 μ_λ に対しても連続である。