[論文レビュー] Random conformal dynamical systems

Bertrand Deroin, Victor Kleptsyn|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Jun 10, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的共形力学系に対して二分法を確立する。すなわち、すべての擬群要素に関して不変な確率測度が存在するか、さもなければほとんど確実に、長い確率的合成が指数関数的に収縮する。著者らは、指数的収縮条件の下で、非対称系への一般化により、確率的解析および葉層構造上の調和測度を用いて、一意的エルゴード性と軌道の等分布性を証明する。

ABSTRACT

We consider random dynamical systems such as groups of conformal transformations with a probability measure, or transversaly conformal foliations with a Laplace operator along the leaves, in which case we consider the holonomy pseudo-group. We prove that either there exists a measure invariant under all the elements of the group (or the pseudo-group), or almost surely a long composition of maps contracts exponentially a ball. We deduce some results about the unique ergodicity.

研究の動機と目的

• 多様体上に作用する確率的共形力学系に対して、既知の対称的状況から非対称的状況へ一般化された二分法を確立すること。
• 横断的に共形な葉層構造における共形写像の確率的合成、あるいはホロノミー擬群の下での不変測度の存在を調査すること。
• 非対称系であっても、指数的収縮性質の下で、確率的軌道の等分布性を証明すること。
• 葉層構造上の調和測度およびブラウン運動の理論を、高余次元および非コンパクトな設定へ拡張すること。
• 調和測度が原子を持つ可能性があるかどうかという問題を解決し、指数的収縮の下では原子を持たないことを示すこと。

提案手法

• 葉層の葉に沿ったブラウン運動とウィENER測度を用いて、ホロノミー写像の確率的合成をモデル化する。
• 熱核と拡散半群 $D^t$ を用いて、確率的力学系における測度の時間発展を分析する。
• 条件付き測度 $\nu_x$ とブラウン運動の遷移密度を熱核の比を通じて関連付ける重要な積分公式 (5.21) を導出する。
• 時間の離散化 $t = k\delta$ を行い、ホロノミー写像が指数的収縮を示すマルコフ停止時刻 $\tau$ を構成する。
• 補題 2.4 からの境界を用いて、熱核比の積の推定を行い、測度の輸送に関する一様下界を示す。
• 超調和性と $D^t_*\mu$ との比較を用いて、調和測度が原子を持てないことを示し、原子が存在するならば矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的共形力学系が、すべての擬群要素に関して不変な完全測度を持つための条件は何か？
• RQ2 不変測度が存在しない場合、共形写像の確率的合成の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 指数的収縮の下で、非対称な確率的共形系に対しても一意的エルゴード性を確立できるか？
• RQ4 特に原子性の観点から、横断的に共形な葉層構造における確率的ホロノミー写像の下での調和測度の挙動はいかなるものか？
• RQ5 ブラウン運動および熱核の理論を、境界を持つ高余次元の葉層構造へどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 二分法が成立する：すなわち、擬群のすべての要素に関して不変な確率測度が存在するか、さもなければほとんど確実に、長い確率的合成が近傍を指数関数的に収縮する。
• 指数的収縮の領域では、任意の点の確率的合成による軌道が、唯一の不変測度に関して一意的に等分布する。
• 葉層空間上の調和測度 $\mu$ は原子を持たない。これは、熱核比の積の下界を用いた背理法によって示された。
• 十分に大きな $T$ に対して、停止時刻 $\tau < 2T$ かつ指数的収縮が成立する確率は 1 に近づくため、推定の有効性が保証される。
• 推定式 (5.23) により、$\nu_x(I) \geq W_{x_0}(N) \cdot c_1 \cdot c_0 > 0$ が小さな $I$ に対して成り立ち、これは $\nu_x$ の原子性に矛盾する。
• コンパクト化空間 $\overline{M}$ 上で作業することにより、高余次元の葉層構造への結果の拡張が可能となり、超調和性および境界挙動が制御される。