[論文レビュー] Uniqueness of Nonnegative Tensor Approximations

Qi Yang, Pierre Comon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非負テンソルの最良の非負ランク-$ r $ 近似がほとんど常に一意であることを確立し、テンソルが一意な最良ランク1近似を持つときを判定する多項式的基準（特異的判別式 $ D_{\text{sing}}(T) $ を通じて）を提供する。非一意な近似は超曲面をなすことが証明され、これらの結果は対称的および実数テンソルへと拡張され、正のテンソルではデフレーション法が失敗することを示している。

ABSTRACT

We show that for a nonnegative tensor, a best nonnegative rank-r approximation is almost always unique, its best rank-one approximation may always be chosen to be a best nonnegative rank-one approximation, and that the set of nonnegative tensors with non-unique best rank-one approximations form an algebraic hypersurface. We show that the last part holds true more generally for real tensors and thereby determine a polynomial equation so that a real or nonnegative tensor which does not satisfy this equation is guaranteed to have a unique best rank-one approximation. We also establish an analogue for real or nonnegative symmetric tensors. In addition, we prove a singular vector variant of the Perron--Frobenius Theorem for positive tensors and apply it to show that a best nonnegative rank-r approximation of a positive tensor can never be obtained by deflation. As an aside, we verify that the Euclidean distance (ED) discriminants of the Segre variety and the Veronese variety are hypersurfaces and give defining equations of these ED discriminants.

研究の動機と目的

• 非負テンソルの最良の非負ランク-$ r $ 近似が一意となる条件を確立すること。
• 非一意な最良ランク1近似を持つテンソルの集合を、半代数的超曲面として特徴づけること。
• 非単純な正規化された特異値を持つテンソルを定義する明示的な多項式方程式 ($ D_{\text{sing}}(T) = 0 $) を導出すること。
• 正のテンソルに対して、デフレーション法が最良の非負ランク-$ r $ 近似を導けないことを証明すること。
• 非負または実数テンソルに対する一意性および判別式に関する結果を、対称テンソルへと拡張すること。

提案手法

• 半体 $ \mathbb{R}_+ $ 上のコーンのテンソル積として非負テンソルを形式化し、半環 $ \mathbb{R}_+ $ 上の半モジュールを用いる。
• 特異的特徴多項式とその導関数の結果式として特異的判別式 $ D_{\text{sing}}(T) $ を定義する。
• 代数幾何学的道具、特にユークリッド距離（ED）判別式の理論を用いて、非単純な特異値を持つテンソルの集合が超曲面をなすことを示す。
• 正則性と一意性の解析に、Perron–Frobenius定理の特異ベクトル版を適用する。
• 代数幾何学的結果（特に、一般のテンソルでは判別式が非ゼロであること）を活用し、非退化条件の下での一意性を証明する。
• 実数または非負テンソルに対して、$ D_{\text{sing}}(T) \neq 0 $ ならば、一意な最良ランク1近似が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負テンソルの最良の非負ランク-$ r $ 近似が一意となる条件は何か？
• RQ2 非一意な最良ランク1近似を持つ非負テンソルの集合を記述する代数的概形は何か？
• RQ3 与えられたテンソルが一意な最良ランク1近似を持つかどうかを判定する多項式的基準を導出できるか？
• RQ4 デフレーション法（逐次的ランク1近似）は、正のテンソルに対して最良の非負ランク-$ r $ 近似を導くことができるか？
• RQ5 一意性および判別式に関する結果は、対称テンソルおよび実数テンソルへどのように拡張されるか？

主な発見

• 非負テンソルに対して、最良の非負ランク-$ r $ 近似はほとんど常に一意である。
• 非一意な最良ランク1近似を持つ非負テンソルの集合は、半代数的集合であり、超曲面に含まれる。
• 実数または非負テンソルにおいて、$ D_{\text{sing}}(T) \neq 0 $ であることと、一意な最良ランク1近似が存在することは同値であり、この判別式は超曲面を定義する。
• セグレ多様体のユークリッド距離判別式は超曲面であり、$ D_{\text{sing}}(T) = 0 $ はその定義方程式を示す。
• 正のテンソルの最良の非負ランク-$ r $ 近似は、Perron–Frobenius定理の特異ベクトル版の結果により、デフレーションによって得ることはできない。
• 対称テンソルに対しても、類似の一致性および判別式の結果が成り立ち、理論が対称的設定へと拡張される。