[論文レビュー] Uniqueness of the fixed point of nonexpansive semidifferentiable maps

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間上の非拡張的半微分可能写像の固定点の全球的一意性および軌道の幾何的収束が、固定点における半微分のみから決定可能であることを確立する。主な結果は、ボンサルの非線形スペクトル半径が収束速度を制御することを示しており、微分可能写像の古典的結果を、ゼロ和の確率的ゲームやヒルバート・トンプソン距離の設定における半微分可能写像へ一般化する。

ABSTRACT

We consider semidifferentiable (possibly nonsmooth) maps, acting on a subset of a Banach space, that are nonexpansive either in the norm of the space or in the Hilbert's or Thompson's metric inherited from a convex cone. We show that the global uniqueness of the fixed point of the map, as well as the geometric convergence of every orbit to this fixed point, can be inferred from the semidifferential of the map at this point. In particular, we show that the geometric convergence rate of the orbits to the fixed point can be bounded in terms of Bonsall's nonlinear spectral radius of the semidifferential. We derive similar results concerning the uniqueness of the eigenline and the geometric convergence of the orbits to it, in the case of positively homogeneous maps acting on the interior of a cone, or of additively homogeneous maps acting on an AM-space with unit. This is motivated in particular by the analysis of dynamic programming operators (Shapley operators) of zero-sum stochastic games.

研究の動機と目的

• 微分可能写像における古典的固定点の一意性および収束結果を、バナッハ空間における半微分可能写像へ拡張すること。
• ヒルベルト距離またはトンプソン距離における非拡張的写像が、全球的に一意な固定点を持つための条件を確立すること。
• 固定点における半微分を用いて、軌道の幾何的収束速度を特徴付けること。
• 特に、錐上での斉次写像およびユニットを持つAM空間におけるNussbaumの結果を、微分可能写像から半微分可能写像へ一般化すること。
• ゼロ和の確率的ゲームにおける価値反復法の解析の理論的基盤を、半微分可能シャープリー作用素を用いて提供すること。

提案手法

• 凸錐に由来するノルム、ヒルベルト距離、またはトンプソン距離の下での非拡張的写像を分析する。
• 滑らかでない写像（例えばシャープリー作用素）の解析を可能とするために、微分可能性の弱い代替として半微分可能性を用いる。
• 固定点における半微分のボンサルの錐スペクトル半径を適用し、幾何的収束速度を評価する。
• 固定点の全球的唯一性を保証するための非線形フリードホルム型コンactness条件を導入する。
• 正規錐の内部における斉次写像およびユニットを持つAM空間における加法的斉次写像に対して結果を導出する。
• 固定点集合および固有空間の構造を特徴付けるために半微分を用い、特に加法的定数の意味での一意性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡張的半微分可能写像の固定点が、その固定点における半微分から全球的に一意に定まるか。
• RQ2 半微分にどのような条件を課すと、すべての軌道が固定点に幾何的に収束するか。
• RQ3 半微分のボンサルの非線形スペクトル半径は、確率的ゲームにおける価値反復法の収束速度とどのように関係するか。
• RQ4 Nussbaumの微分可能写像に関する古典的結果が、どの程度半微分可能写像の状況へ一般化可能か。
• RQ5 錐上での斉次写像の文脈において、固有ベクトルが加法的定数の意味でいつ一意に定まるか。

主な発見

• 非拡張的半微分可能写像の固定点は、非線形フリードホルム型コンパクトネス条件の下で、半微分が非自明な固定点を持たない場合に全球的に一意である。
• 半微分のボンサルスペクトル半径が1未満であれば、すべての軌道が固定点に幾何的に収束することが保証される。
• 収束速度はボンサルスペクトル半径によって上限が与えられ、例では半ノルム ω において最大で 1/2 の収束率を示す。
• 例におけるシャープリー作用素では、半微分が定数固定点しか持たないため、加法的固有ベクトルは加法的定数の意味で一意である。
• 誤差のk乗根の上極限は、limsup_{k→∞} ||F^k(x) - u||^{1/k} ≤ 1/2 を満たし、指数的減衰を示している。
• 有限次元ではコンパクトネス条件が自明に満たされるが、結果はNussbaumの定理を半微分可能写像へ一般化するものである。