[論文レビュー] Uniqueness of the nonlinear Schrödinger Equation driven by jump processes

Erika Hausenblas, Anne de Bouard+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限活性を持つLévy過程によって駆動される確率的非線形Schrödinger方程式について、Kurtzの一般ヤマダ＝ワタナーベ理論に基づく抽象的枠組みを用いて、経路的一意性、法則としての一意性、強い解の存在を確立する。主な貢献は、非局所的コンパクトでないポアソン確率測度を伴うSPDEにおける強い一意性の証明であり、従来の局所的コンパクトな設定を超えた一意性結果の拡張である。

ABSTRACT

In a recent paper by the first two named authors, existence of martingale solutions to a stochastic nonlinear Schrödinger equation driven by a Lévy noise was proved. In this paper, we prove pathwise uniqueness, uniqueness in law and existence of strong solutions to this problem using an abstract uniqueness result of Kurtz.

研究の動機と目的

• 時間定常なポアソン確率測度によって駆動される確率的非線形Schrödinger方程式の経路的一意性および法則としての一意性を確立すること。
• 古典的ヤマダ＝ワタナーベ理論を、非局所的コンパクトなポーランド空間上に定義されたポアソン確率測度によって駆動されるSPDEに拡張すること。
• ジャンプノイズを伴う確率的非線形Schrödinger方程式の強い解の存在を証明すること。
• ポアソンノイズの状態空間が局所的コンパクトでない場合に必要となる、先行研究の制限を克服すること。

提案手法

• 正規化条件付き確率に基づくのではなく、普遍的なスコロホド表現定理に依存するKurtzの抽象的ヤマダ＝ワタナーベ理論への適応。
• Banach空間におけるポアソン確率測度によって駆動される確率的発展方程式の抽象的枠組みに、確率的非線形Schrödinger方程式を翻訳すること。
• 補正済みポアソン確率測度と強度測度を用いて、弱い解の定式化における確率積分を定義すること。
• ポーランド空間上の整数値測度の空間の必要十分な可測性および位相的性質を、弱収束位相に関して確立すること。
• コンパクト集合の列上での整数値測度の空間が、弱収束位相に関して閉かつポーランド空間であることを証明すること。
• 抽象的一意性結果をSPDEの弱い解の定式化に適用し、経路的一意性および強い解の存在を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限活性を持つLévy過程によって駆動される確率的非線形Schrödinger方程式について、状態空間が局所的コンパクトでない場合に、経路的一意性を確立できるか？
• RQ2 Kurtzの抽象的ヤマダ＝ワタナーベ理論は、非局所的コンパクトなポーランド空間上に定義されたポアソン確率測度によって駆動されるSPDEに適用可能か？
• RQ3 確率的非線形Schrödinger方程式の弱解が、同時に強い解かつ経路的一意的であるための条件は何か？
• RQ4 非局所的コンパクトでない設定において、抽象的確率解析的手法を適用可能にするために、ポアソン確率測度の空間をどのように位相的に定義できるか？
• RQ5 ポーランド空間上での整数値測度の空間が、コンパクト集合の列を用いて弱収束位相で閉かつポーランド空間であるか？

主な発見

• 時間定常なポアソン確率測度によって駆動される確率的非線形Schrödinger方程式について、状態空間が局所的コンパクトでない場合でも経路的一意性が成立する。
• 解の法則としての一意性が確立され、すべての弱解が同じ有限次元分布を持つことが保証される。
• 強い解が方程式に対して存在する。これは、任意の与えられた確率的基底上に解を構成可能であることを意味する。
• 弱収束位相を備えたポーランド空間上の整数値測度の空間はポーランド空間である。これにより、抽象的確率解析手法の適用が可能になる。
• Kurtzのヤマダ＝ワタナーベ理論の抽象的枠組みが、非局所的コンパクトでない設定におけるジャンプノイズを伴うSPDEに成功裏に適用され、従来の結果を超えた範囲への拡張が達成された。
• 弱収束位相のボレル可測性が、可算基底の開集合族と正規性の議論を用いて確立された。