[論文レビュー] Uniqueness of twisted linear periods and twisted Shalika periods

Fulin Chen, Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性0の局所体k上のGL_{2n}(k)の既約適切な滑らかな表現に対して、ねじれ線形周期およびねじれShalika周期の一意性を確立する。Shalika zeta積分と新規の一般化関数の議論を用いて、GL_n(k) × GL_n(k)のすべての可算でない文字χに対して、このような表現上のχ-等変線形関数の空間は高々1次元であることを証明し、ねじれShalikaモデルの一意性を示す。

ABSTRACT

Let $ k$ be a local field of characteristic zero. Let $π$ be an irreducible admissible smooth representation of $\GL_{2n}( k)$. We prove that for all but countably many characters $χ$ of $\GL_n( k) imes \GL_n( k)$, the space of $χ$-equivariant (continuous in the archimedean case) linear functionals on $π$ is at most one dimensional. Using this, we prove the uniqueness of twisted Shalika models.

研究の動機と目的

• 特性0の局所体上のGL_{2n}(k)の既約適切な滑らかな表現に対して、ねじれ線形周期の一意性を確立すること。
• zeta積分を介してねじれ線形周期と関連付けることにより、ねじれShalika周期への一意性結果の拡張を図ること。
• GL_n(k) × GL_n(k)のすべての可算でない文字χに対して、このような表現上のχ-等変関数の空間が高々1次元であることを証明すること。
• 対称性条件の下で一般化関数の振る舞いを制御するために「良い」文字の概念を導入し、それを用いること。
• GSpin_{2n+1}のL関数の特別値の算術的研究に不可欠な基礎的の一意性結果を提供すること。

提案手法

• ねじれ線形周期と標準的なGL_n × GL_n-周期を関連付けるために、Shalika zeta積分を用いる。
• 鍵となる技術的道具は、定理Cであり、これは、GL_{2n}(k)上の任意の一般化関数fが良い文字χに沿って変換され、かつGL_n(k) × GL_n(k)による左および右乗法に対して不変であるならば、f(x) = f(x^t)、すなわち転置に関して対称であることを示す。
• アーチメデス的の場合にはCasselman-Wallach表現の緩やかな成長性と滑らかさを、非アーチメデス的の場合には標準的表現論を用いて、zeta積分の収束を制御する。
• 複素パラメータsに依存する文字χ_sの族を定義し、解析接続を用いてねじれShalika周期とねじれ線形周期を結びつける。
• テスト関数のシュワーツ性と行列ノルムの境界を用いて、zeta積分の収束を確立し、右半平面で正則性を保証する。
• 定理Bをzeta積分写像の像に適用することで、すべての可算でないsに対してχ_s-周期の一意性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_n(k) × GL_n(k)のどの文字χに対して、GL_{2n}(k)の既約適切な滑らかな表現π上のχ-等変線形関数の空間が高々1次元になるか？
• RQ2 特性0の局所体上のGL_{2n}(k)のすべての既約適切な滑らかな表現に対して、ねじれShalika周期の一意性は成り立つか？
• RQ3 GL_{2n}(k)上の一般化関数fが良い文字χに沿って変換され、f(hx) = f(xh) = χ(h)f(x)を満たすとき、f(x) = f(x^t)という対称性条件が導かれるか？
• RQ4 η^2 · |·|^{-m}が擬代数的でない文字（「良い」文字）の概念が、zeta積分枠組みにおける望ましい一意性を保証するためにどのように寄与するか？
• RQ5 zeta積分写像λ ↦ Z_λ(·, s)は、ねじれShalika周期とねじれ線形周期をどのように結びつけるか？

主な発見

• 定理Bで述べられるように、GL_n(k) × GL_n(k)のすべての可算でない文字χに対して、空間Hom_{GL_n(k) × GL_n(k)}(π, χ)は高々1次元である。
• 任意のGL_{2n}(k)の既約適切な滑らかな表現πに対して、ねじれShalika周期の空間Hom_{S_n(k)}(π, ψ_{S_n})は高々1次元であり、これは定理Aの証明である。
• すべてのh ∈ GL_n(k) × GL_n(k)に対してf(hx) = f(xh) = χ(h)f(x)を満たす一般化関数fは、定理Cで示されるようにf(x) = f(x^t)を満たす。
• zeta積分Z_λ(v, s)は、Re(s)が十分に大きいとき絶対収束し、sに関して連続であり、ねじれShalika周期の空間からねじれ線形周期の空間への単射写像を定義する。
• zeta積分写像の単射性と定理Bの組み合わせにより、ねじれShalika周期の空間が高々1次元であることが示される。
• 適切な滑らかさおよび適切性の定義のもと、アーチメデス的および非アーチメデス的両方の局所体に対して一貫した結果が得られる。