[論文レビュー] Uniqueness results for the phase retrieval problem of fractional Fourier transforms of variable order

Philippe Jaming|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 61被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、変数次数の分数フーリエ変換（FrFT）を用いた位相再構成における一意性に関する結果を確立し、関数が特定の次数におけるFrFTの絶対値測定値から定数位相因子を除き一意に回復可能であることを証明している。コンパクトにサポートされた関数、ヘルミート関数、またはガウス関数の線形結合といった構造的信号の場合、一意性は単一の適切に選ばれたFrFT次数で十分であり、可算個の次数集合はより広いクラスに対しても再構成を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the uniqueness of the phase retrieval problem for the fractional Fourier transform (FrFT) of variable order. This problem occurs naturally in optics and quantum physics. More precisely, we show that if $u$ and $v$ are such that fractional Fourier transforms of order $α$ have same modulus $|F_αu|=|F_αv|$ for some set $τ$ of $α$'s, then $v$ is equal to $u$ up to a constant phase factor. The set $τ$ depends on some extra assumptions either on $u$ or on both $u$ and $v$. Cases considered here are $u$, $v$ of compact support, pulse trains, Hermite functions or linear combinations of translates and dilates of Gaussians. In this last case, the set $τ$ may even be reduced to a single point (i.e. one fractional Fourier transform may suffice for uniqueness in the problem).

研究の動機と目的

• 関数の位相が、複数の次数におけるその分数フーリエ変換の絶対値から一意に回復可能かどうかを調査すること。
• 関数クラス（例：コンパクトなサポート、ガウス関数、ヘルミート関数）にどのような条件下で、グローバル位相因子を除き一意性が成立するかを特定すること。
• 特定の信号クラスに対して一意性を保証する最小の分数フーリエ変換次数の集合を同定すること。
• コンパクトにサポートされた関数に対して、可算個のFrFT測定値を用いた再構成式を提供すること。

提案手法

• 解析は、有限オーダーの整関数の性質と複素解析的手法を用い、異なる次数におけるFrFTの絶対値を比較する。
• 位相関数のテイラー展開における1次および2次項を比較することで、複素ガウス関数の線形結合に関する一意性結果を適用する。
• 整関数の漸近的挙動と孤立した零点の原理を用いて、線形結合が消えるならば係数が相殺されることを示す。
• 主要な技術として、複素平面を回転させ、指数和における支配的項を分離し、係数が非ゼロであると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 信号構造に基づいて場合分けを行う：コンパクトなサポート、パルス列、ヘルミート関数、ガウス関数の線形結合。
• ガウス関数の場合、2つの適切に選ばれたFrFT次数で絶対値が一致すれば、振幅と位相がグローバル要因を除き同一であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が単一の次数におけるその分数フーリエ変換の絶対値から、どのような条件下で一意に決定可能か？
• RQ2 線形結合ガウス関数などの構造的信号クラスにおいて、単一の分数フーリエ変換測定値で位相再構成が可能か？
• RQ3 コンパクトにサポートされた関数に対して、一意性を保証する最小の分数フーリエ変換次数の集合は何か？
• RQ4 信号の構造（例：パルス列やヘルミート関数）が位相再構成の一意性にどのように影響するか？
• RQ5 可算個のFrFT測定値を用いて、コンパクトにサポートされた関数の再構成式を導出可能か？

主な発見

• コンパクトにサポートされた関数に対しては、可算個の分数フーリエ変換次数が、グローバル位相因子を除き関数を一意に回復可能である。
• ガウス関数の線形結合に対しては、パrametersに依存して、適切に選ばれた1つの分数フーリエ変換次数で一意性が保証される。
• ヘルミート関数およびパルス列信号に対しては、適切に選ばれた2つの分数フーリエ変換次数で十分に一意性が成立する。
• 証明により、2つの関数が特定の次数集合においてFrFTの絶対値が一致するならば、それらはグローバル位相因子を除き等しい必要があることが示された。
• 本稿では、可算個のFrFT測定値を用いたコンパクトにサポートされた関数の再構成式を提供しており、実用的応用の可能性を示唆している。
• これらの結果は、分数フーリエ変換がパウリ位相再構成問題の有力候補であることを支持しており、既存の反復的アルゴリズムの改善に寄与する可能性を秘めている。