[論文レビュー] Explicit Examples of rational and Calabi-Yau threefolds with primitive automorphisms of positive entropy

Keiji Oguiso, Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、積型3次元トーラスの有限群商を用いて、正則的でない有理的3次元多様体およびカバリ・ヤウ3次元多様体の、正のエントロピーをもつ原始的双正則自己同型の初の明示的例を提示する。主な革新点は、商多様体の有理型を証明し、動的次数を用いて原始的であることを確立することにあり、最初の動的次数がセーレム数でないことも示され、高次元複素力学における長年の未解決問題が解けた。

ABSTRACT

We present the first explicit examples of a rational threefold and a Calabi-Yau threefold, admitting biregular automorphisms of positive entropy not preserving any dominant rational maps to lower positive dimensional varieties. The most crucial part is the rationality of the quotient threefold of a 3-dimensional torus of product type.

研究の動機と目的

• 正のエントロピーをもつ原始的双正則自己同型をもつ有理的およびカバリ・ヤウ3次元多様体の明示的例を構成すること。
• このような自己同型が、低次元多様体への支配的有理写像を保存しない有理的およびカバリ・ヤウ3次元多様体に存在しうるかどうかという未解決問題を解くこと。
• このような自己同型の最初の動的次数がセーレム数でないことがあることを示すこと。
• 最初の動的次数と第二の動的次数が異なることに基づく原始的であるための数値的基準を提供すること。
• 特定の有限群作用をもつ3次元トーラスの商として得られる3次元多様体の有理型を確立すること。

提案手法

• 虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の整数環 $\mathbb{Z}[\omega]$ を用いて、3次元複素トーラス $M = E_\omega \times E_\omega \times E_\omega$ を構成する。
• $\mathrm{GL}(3, \mathbb{Z}[\omega])$ を用いて $M$ に有限群作用を定義し、複素構造を保存する整数行列として表現される。
• 商3次元多様体 $X = M/G$ および $Y = M/G'$ を構成し、特異点の解消を用いてそれらの有理型を証明する。ここで $G$ および $G'$ は $\mathrm{GL}(3, \mathbb{Z}[\omega])$ の有限部分群である。
• グロモフ＝ヨムディンの定理を用いて、トポロジカルエントロピーを最大の動的次数の対数として計算する。
• 数値的基準（定理4.1）を適用し、$\lambda_1(f) \neq \lambda_2(f)$ ならば $f$ は原始的であることを示し、誘導された自己同型の原始的であることを証明する。
• 行列 $P_a$ の特性多項式 $\Phi(x) = x^3 - 3a^2x + 1$ を分析し、$\lambda_1(f) < \lambda_2(f)$ を示し、正のエントロピーおよび $\lambda_1(f)$ がセーレム数でないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的3次元多様体が、低次元多様体への支配的有理写像を保存しない正のエントロピーをもつ原始的双正則自己同型をもつことは可能か？
• RQ2 カバリ・ヤウ3次元多様体が同様の自己同型をもつことは可能か？ もしそうならば、明示的に構成可能か？
• RQ3 このような自己同型の最初の動的次数がセーレム数でないことは可能か？
• RQ4 動的次数の観点から、双正則自己同型の原始的であるための条件は何か？
• RQ5 $\mathrm{GL}(3, \mathbb{Z}[\omega])$ による有限群作用の下での3次元トーラスの商は有理的か？

主な発見

• 商3次元多様体 $X = M/G$ は有理的であり、正のエントロピーをもつ原始的自己同型をもつ滑らかな有理的3次元多様体の初の明示的例を提供する。
• 商3次元多様体 $Y = M/G'$ はカバリ・ヤウ3次元多様体であり、正のエントロピーをもつ原始的自己同型をもつカバリ・ヤウ3次元多様体の初の明示的例を提供する。
• $X$ 上の自己同型 $f_X$ について $\lambda_1(f_X) < \lambda_2(f_X)$ が成り立ち、定理4.1により原始的であることが確認される。
• 最初の動的次数 $\lambda_1(f_X)$ はセーレム数でない。これは、3つの実数解をもつ既約な3次多項式から生じており、セーレム数の対称性を満たさないからである。
• $f_X$ および $f_Y$ のトポロジカルエントロピーは正であり、$\lambda_1(f_X) > 1$ である。ここで $\lambda_1(f_X) = \alpha^2$ かつ $\lambda_2(f_X) = \alpha^2\gamma^2$ であり、$\alpha < -a < 0 < \beta < 1 < a < \gamma$ は $\Phi(x) = x^3 - 3a^2x + 1$ の根である。
• 誘導された自己同型 $f_X$ および $f_Y$ は双正則であり、無限位数であり、低次元多様体への支配的有理写像を保存しない。これにより、それらの原始的であることが確認される。