[論文レビュー] Unit groups of maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields

Qun Li, Jiangwei Xue+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、実二次体上の完全正定型ハミルトン代数の極大順序の単数群を中心で割った群の構造を分析することにより、その極大順序のクラス数およびタイプ数の改良された公式を確立する。有限非巡回群 G と同型な縮約単数群をもつ極大順序の同型類の数について明示的な公式を提供し、これにより特徴標数 p ≠ 1 mod 24 である有限体上に、自己準同型代数 ℚ(√p) をもつ超特異アーベル曲面が存在することを証明する。

ABSTRACT

We study a form of refined class number formula (resp. type number formula) for maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields, by taking into consideration the automorphism groups of right ideal classes (resp. unit groups of maximal orders). For each finite noncyclic group $G$, we give an explicit formula for the number of conjugacy classes of maximal orders whose unit groups modulo center are isomorphic to $G$, and write down a representative for each conjugacy class. This leads to a complete recipe (even explicit formulas in special cases) for the refined class number formula for all finite groups. As an application, we prove the existence of superspecial abelian surfaces whose endomorphism algebras coincide with $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ in all positive characteristic $p ot\equiv 1\pmod{24}$.

研究の動機と目的

• 中心で割った単数群の構造を組み込むことにより、実二次体上の完全正定型ハミルトン代数の極大順序のクラス数およびタイプ数の改良公式を構築すること。
• 与えられた有限非巡回群 G と同型な縮約単数群をもつ極大順序の同型類をすべて分類すること。
• そのような同型類の数について明示的な公式を導出し、それぞれの同型類の代表元を提供すること。
• 改良された公式を応用して、特徴標数 p ≢ 1 mod 24 である場合に、自己準同型代数 ℚ(√p) をもつ超特異アーベル曲面が存在することを証明すること。

提案手法

• Eichlerのトレース公式および SO₃(ℝ) の有限部分群の分類を用いて、縮約単数群の構造を分析する。
• Vignérasの単数指数を定義し、それを実二次体 F = ℚ(√d) の基本単数に関連付ける。
• 非巡回有限群 G に対する最小 G-順序を構成し、その正規化群を分析することで極大順序を分類する。
• CM拡張 K/F 及びその単数群を研究し、極大順序の可能な縮約単数群を特定する。
• 特に F(√−1)、F(√−3)、F(√−ε) における二次 OF-順序を分析し、単数群構造を分類する。
• F = ℚ(√p) および H = H∞₁,∞₂ の場合に結果を適用し、タイプ数を改良して計算し、超特異アーベル曲面の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限非巡回群 G に対して、実二次体上の完全正定型ハミルトン代数の極大順序の同型類のうち、縮約単数群が G に同型となるものはいくつ存在するか？
• RQ2 与えられた縮約単数群 G をもつ極大順序の同型類の代表元を明示的にどのように構成できるか？
• RQ3 素数 p がどのような条件下で、ℚ(√p) 上の H∞₁,∞₂ に非アーベルな縮約単数群をもつ極大順序が存在するか？
• RQ4 特徴標数 p である有限体上に定義された超特異アーベル曲面の自己準同型代数が ℚ(√p) に等しくなるのはどのようなときか？
• RQ5 改良されたクラス数およびタイプ数の公式をどのように用いて、所望の自己準同型代数をもつ関数体上のアーベル多様体を構成できるか？

主な発見

• 任意の有限非巡回群 G に対して、実二次体上の完全正定型ハミルトン代数の極大順序の同型類の数について、その縮約単数群が G に同型となる場合に明示的な公式を提供する。
• 与えられた縮約単数群 G をもつ極大順序の各同型類に対して代表元を構成し、完全な分類が可能になる。
• 極大順序の縮約単数群が非アーベルであることは、F = ℚ(√p) を基底体としてとるとき、p ≢ 1 mod 24 であることと同値である。
• ℚ(√p) 上の H∞₁,∞₂ に、縮約単数群が S₄ もしくは A₅ に同型となる極大順序が存在するのは、p ≢ 1 mod 24 のときである。
• 任意の素数 p ≢ 1 mod 24 に対して、特徴標数 p の体上に、自己準同型代数がちょうど ℚ(√p) に等しい超特異アーベル曲面が存在する。
• ℓ ≥ 1 に対して、K = 𝔽p^ℓ^∞(t) 上では、自己準同型代数が ℚ(√p) に同型となる超特異アーベル曲面 X₀ の無限に多くの K-形が存在する。