[論文レビュー] Unitary Matrix Models and 2D Quantum Gravity (Virasoro constraints modified)

S. Dalley, Clifford V. Johnson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 1992

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、修正KdV（mKdV）およびKdV可積分階層の間のMiura変換を用いて、2次元量子重力の統一的記述を確立し、外部場におけるユニタリ行列モデルの非摂動的解が、正則でない開-閉弦解としての重力場の再結合群方程式 $[\tilde{P}, Q] = Q$ に対応することを示している。主な結果は、GrossとNewmanによるユニタリ行列モデルのNが非常に大きいときの解が、KdV階層の正則でない閉弦解と一致することであり、これは行列モデルと2次元量子重力の間の非摂動的等価性を強く支持するものである。

ABSTRACT

The KdV and modified KdV integrable hierarchies are shown to be different descriptions of the same 2D gravitational system -- open-closed string theory. Non-perturbative solutions of the multi-critical unitary matrix models map to non-singular solutions of the `renormalisation group' equation for the string susceptibility, $[ ilde{P},Q]=Q$. We also demonstrate that the large N solutions of unitary matrix integrals in external fields, studied by Gross and Newman, equal the non-singular pure closed-string solutions of $[ ilde{P},Q]=Q$.

研究の動機と目的

• KdV階層と修正Kdv階層を、同一の2次元量子重力系の異なる記述として統一すること。
• 外部場における多臨界ユニタリ行列モデルの非摂動的解が、再結合群方程式 $[\tilde{P}, Q] = Q$ の非特異解に対応することを示すこと。
• 外部場におけるユニタリ行列モデルのNが非常に大きいときの解が、GrossとNewmanによって導出されたKdV階層の純粋な閉弦解と一致することを示すこと。
• 世界線図における境界の数を用いて、開弦結合定数 $\Gamma$ の物理的解釈を提示すること。
• Virasoro制約と漸近展開の一致を通じて、行列モデルと2次元量子重力の間の非摂動的等価性を裏付ける証拠を提供すること。

提案手法

• mKdV階層とKdV階層の解を結びつけるためのMiura変換の使用により、異なる弦理論的記述間の写像が可能になる。
• 逆Miura変換を用いて、一方の階層から他方の階層への解を明示的に構成すること。
• 質量ゼロのクォークが $C$ フレーバー存在する対称的ユニタリ行列モデルの二重スケーリング極限を分析し、弦感受性と世界面構造を抽出すること。
• 擬微分作用素を用いて、$u$ が一般化された弦方程式 (1) を満たす場合の再結合群方程式 $[\tilde{P}, Q] = Q$ の導出。
• Gel’fand-Dikii微分多項式を用いて ${\cal R}$ を定義し、階層の流れを記述するものとし、弦感受性と関連付ける。
• 弦方程式 (1) の漸近展開を、2次元重力における既知の摂動的 genus 展開（特に $(2,2m-1)$ 最小模型背景）と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元量子重力の文脈において、KdV階層と修正KdV階層はどのように関係しているか？
• RQ2 外部場におけるユニタリ行列モデルの非摂動的解は、弦方程式 $[\tilde{P}, Q] = Q$ の非特異解に対応するか？
• RQ3 ユニタリ行列モデルのNが非常に大きい極限と、KdV階層の閉弦解との間に非摂動的等価性があるか？
• RQ4 境界を有する世界面図の文脈において、開弦結合定数 $\Gamma$ の物理的役割は何か？
• RQ5 KdV階層のVirasoro制約がユニタリ行列モデルのそれと一致するか？ その一致は非摂動的等価性に何を意味するか？

主な発見

• Miura変換により、KdV階層とmKdV階層が、2次元量子重力における同一の開-閉弦理論の異なる記述として統一される。
• ユニタリ行列モデルから導かれるmKdV階層の非特異的で実数の解は、KdV階層の非特異的で開-閉弦の解へと写像される。
• GrossとNewmanが研究した外部場におけるユニタリ行列モデルのNが非常に大きい極限は、KdV階層の非特異的で閉弦の解と一致し、$\Gamma^2 = 1/4$ を満たす。
• ユニタリ行列モデルの分配関数の連続極限は、境界が偶数個のみ存在する世界面図に対応し、$\Gamma^2 = 1/4$ と整合的である。
• 解は $n \geq 0$ に対して $L_n \tau = 0$ を満たし、標準的な弦理論フレームワークと整合していることが確認される。
• 弦方程式 (1) の漸近展開は、$(2,2m-1)$ 最小模型背景における既知の genus 展開と一致し、非摂動的レベルまで一致が成立しており、完全な等価性を支持する。