[論文レビュー] Unitary N-dilations for tuples of commuting matrices

John E. McCarthy, Orr Moshe Shalit|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、単位的拡大をもつ任意の有限次元の可換な収縮の $k$-tuple が、任意の次数 $N$ に対して有限次元の単位的 $N$-拡大をもつことを確立している。これは、その $k$-tuple の $N$ 次多項式関数計算が圧縮によって保存されることを意味する。主な貢献は、2つの可換作用素に対してアンドウの拡大定理の構成的有限次元版を提供することであり、これは単一作用素に対するエーグェルヴァリの有限次元拡大結果を一般化したものである。

ABSTRACT

We show that whenever a contractive $k$-tuple $T$ on a finite dimensional space $H$ has a unitary dilation, then for any fixed degree $N$ there is a unitary $k$-tuple $U$ on a finite dimensional space so that $q(T) = P_H q(U) |_H$ for all polynomials $q$ of degree at most $N$.

研究の動機と目的

• 可換な収縮の $k$-tupleに対する単位的拡大理論の有限次元類似を構築すること。
• 単一の収縮に対するエーグェルヴァリの有限次元拡大結果を、2つおよび $k$-個の可換な収縮の $k$-tuple に拡張すること。
• 任意の $N$ に対して、$k$-個の可換な収縮の $k$-tuple が有限次元単位的 $N$-拡大をもつための条件を確立すること。
• 元の空間の次元と $N$ を用いて、拡大空間の次元に対する明示的な上限を提供すること。
• 有限次元設定における正規 $N$-拡大と有限次数 $N$-拡大の関係を調査すること。

提案手法

• 次数が高々 $N$ である $k$ 変数複素多項式の空間 $\mathcal{P}_N(k)$ を用いて、$N$-拡大条件を定義する。
• $H$ 上の正の作用素 $A_i$ と $\mathbb{T}^k$ 内の点 $w_i$ の有限集合を構成し、すべての $q \in \mathcal{P}_N(k)$ に対して $q(T) = \sum_i q(w_i) A_i$ が成り立つようにする。
• 正の作用素値測度 $\{A_i\}$ を有限次元空間 $K \supseteq H$ 上のスペクトル測度 $\{E_i\}$ に上げるためにナイマークの拡大定理を適用する。
• $K$ 上で可換かつ単位的であるように、$U_j = \sum_i w_i^j E_i$ として単位的 $k$-作用素 $U_j$ を定義する。
• ポisson核を用いて、正規 $N$-拡大のための $\mathcal{Q}_N(k)$（$n$-調和関数の空間）への関数計算の拡張を行う。
• $\dim K = n^2(n+1)\frac{(N+k)!}{N!k!} + n$ を一般の場合に、$k=2$ や $\dim H=2$ のような特別な場合に tighter な境界を得るための次元数え上げ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の可換な収縮の $k$-tuple が有限次元単位的 $N$-拡大をもつための条件は何か？
• RQ2 2つの可換な収縮に対するアンドウの拡大定理は、有限次元的かつ次数制限付きの $N$-拡大に拡張可能か？
• RQ3 与えられた $k$-個の可換な収縮の $k$-tuple をサポートする有限次元ヒルベルト空間の最小次元は何か？
• RQ4 有限次元設定において、正規 $N$-拡大と正規単位的拡大の存在との関係は何か？
• RQ5 このような $N$-拡大を明示的な次元上限とともに構成的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 次元 $n$ の有限次元ヒルベルト空間 $H$ 上の可換な収縮の $k$-tuple が、有限次元空間 $K$ 上に単位的 $N$-拡大をもつことと、正規単位的拡大をもつことは同値である。
• 一般の $k$-tuple に対して、拡大空間 $K$ の次元は $n^2(n+1)\frac{(N+k)!}{N!k!} + n$ で上限づけられる。
• $k=2$ の場合、$K$ の次元は $n^2(n+1)\frac{(N+1)(N+2)}{2} + n$ で上限づけられる。
• $\dim H = 2$ の場合、$K$ の次元は $12\frac{(N+k)!}{N!k!} + 2$ で上限づけられる。
• すべての $N$ に対して正規 $N$-拡大が存在することは、正規単位的拡大が存在することと同値であり、逆も同様である。
• 構成は、正の作用素値測度をスペクトル測度に上げるためにナイマークの拡大定理に依存しており、これにより $K$ 上で可換な単位的作用素を定義できる。