[論文レビュー] Unitary orbits of normal operators in von Neumann algebras

David K. Sherman|ArXiv.org|Sep 29, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 52被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のフォン・ノイマン代数における正規作用素のユニタリ軌道のノルム閉包および強い*閉包の完全なスペクトル的特徴付けを、型や濃度に依存せずに提供する。主な結果は、σ-有限フォン・ノイマン代数において、ノルム閉包、強い*閉包、強い閉包のユニタリ軌道が一致することを示しており、これらの閉包が元の未閉包軌道と一致するか否かの明確な条件を同定している。

ABSTRACT

The starting points for this paper are simple descriptions of the norm and strong* closures of the unitary orbit of a normal operator in a von Neumann algebra. The statements are in terms of spectral data and do not depend on the type or cardinality of the algebra. We relate this to several known results and derive some consequences, of which we list a few here. Exactly when the ambient von Neumann algebra is a direct sum of sigma-finite algebras, any two normal operators have the same norm-closed unitary orbit if and only if they have the same strong*-closed unitary orbit if and only if they have the same strong-closed unitary orbit. But these three closures generally differ from each other and from the unclosed unitary orbit, and we characterize when equality holds between any two of these four sets. We also show that in a properly infinite von Neumann algebra, the strong-closed unitary orbit of any operator, not necessarily normal, meets the center in the (non-void) left essential central spectrum of Halpern. One corollary is a "type III Weyl-von Neumann-Berg theorem" involving containment of essential central spectra.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数における正規作用素のユニタリ軌道のノルム閉包および強い*閉包の内因的でスペクトルに基づく記述を提供すること。
• 正規作用素のノルム閉包、強い*閉包、強い閉包のユニタリ軌道が一致する条件を特定すること。
• 未閉包のユニタリ軌道がそのノルム閉包または強い*閉包において稠密である条件を同定すること。
• 本質的中心スペクトルを用いて、Weyl-von Neumann-Bergの定理を型IIIフォン・ノイマン代数へ拡張すること。
• 粗い多重度関数およびMurray-von Neumann同値の役割が、閉じたユニタリ軌道を分類する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 本稿は、開集合 $ \theta \subset \mathbb{C} $ に対して $ M_h(\theta) = \text{rank}(\chi_\theta(h)) $ と定義される粗い多重度関数を、ユニタリ軌道のノルム閉包に対する完全不変量として用いる。
• 強い*閉包に関しては、Hadwinの結果を応用し、$ k \in \overline{\mathcal{U}(h)}^{*} $ であるための必要十分条件として、すべての開集合 $ \theta \subset \mathbb{C} $ に対して $ \min\{M_k(\theta), \aleph_0\} \leq \min\{M_h(\theta), \aleph_0\} $ が成り立つことを示す。
• 解析は、スペクトル射影のMurray-von Neumann同値性に依拠している：$ \chi_\theta(k) $ は $ \chi_\theta(h) $ に同値な射影の強い極限である。
• スペクトル条件を満たさない場合に $ \mathcal{U}(h) \subsetneq \overline{\mathcal{U}(h)}^{\|\|} $ となることを示すために、等長作用素とスペクトル射影を用いた反例を構成する。
• 非可分かつ無限大の代数を解析するため、本質的中心スペクトルと $ \sigma $-有限分解を用いる。
• 非可換測度論の結果（特に、型II₁およびIII代数に非原子的MASAが存在すること）を応用し、ユニタリ軌道に属さないがノルム閉包に属する作用素を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマン代数における正規作用素のノルム閉包、強い*閉包、強い閉包のユニタリ軌道が一致するのはいつか？
• RQ2 どのようなスペクトル的条件が、正規作用素のユニタリ軌道がそのノルム閉包または強い*閉包において稠密であることを保証するか？
• RQ3 粗い多重度関数およびスペクトル射影は、任意のフォン・ノイマン代数におけるユニタリ軌道の閉包をどのように決定するか？
• RQ4 どのフォン・ノイマン代数において、任意の作用素のユニタリ軌道の強い閉包が中心と交わることが保証されるか？
• RQ5 本質的中心スペクトルと型III代数におけるユニタリ軌道の閉包との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 正規作用素 $ h $ のユニタリ軌道のノルム閉包は、開集合 $ \theta \subset \mathbb{C} $ に対して $ M_h(\theta) = \text{rank}(\chi_\theta(h)) $ で定義されるその粗い多重度関数によって完全に決定される。
• $ \sigma $-有限フォン・ノイマン代数では、正規作用素のノルム閉包、強い*閉包、強い閉包のユニタリ軌道がすべて一致する。
• 未閉包のユニタリ軌道 $ \mathcal{U}(h) $ がそのノルム閉包において稠密であるための必要十分条件は、すべての $ \lambda \in \mathbb{C} $ および $ \lambda $ を含む開集合 $ U $ に対して $ [\chi_{U \setminus \{\lambda\}}(h)] \geq [\chi_{\{\lambda\}}(h)] $ が成り立たないことである。
• 適切に無限大のフォン・ノイマン代数では、任意の作用素のユニタリ軌道の強い閉包は、Halpernの左本質的中心スペクトルに含まれる。
• 本稿は、型IIIにおけるWeyl-von Neumann-Bergの定理を確立する：二つの正規作用素のユニタリ軌道の強い閉包が一致するための必要十分条件は、それらの本質的中心スペクトルが互いに本質的スペクトルに含まれることである。
• ノルム閉包に属するが未閉包のユニタリ軌道に属さないような正規作用素 $ h $ が存在する。このような作用素は、無限大または $ \sigma $-有限射影が存在する状況で、等長作用素を用いてスペクトル射影を変更することで構成可能である。