[論文レビュー] Unitary representations of rational Cherednik algebras

Pavel Etingof, Emanuel Stoica+1 more|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Cherednik-Dunkl部分代数のスペクトルを分析し、intertwiner技法を用いることで、有理Cherednik代数のユニタリ最低重量表現を分類する。特にA型において、ユニタリ性の成立領域を完全に特定し、ユニタリ表現が連続的区間および離散的有理点上にのみ現れることを示し、Cherednikが提起した多項式表現の既約部分表現のユニタリ性に関する問題を解決する。

ABSTRACT

We study unitarity of lowest weight irreducible representations of rational Cherednik algebras. We prove several general results, and use them to determine which lowest weight representations are unitary in a number of cases. In particular, in type A, we give a complete description of the unitarity locus (justified in Section 5 and appendix by Stephen Griffeth), and resolve a question by Cherednik on the unitarity of the irreducible subrepresentation of the polynomial representation. Also, as a by-product, we establish Kasatani's conjecture in full generality (the previous proof by Enomoto assumes that the parameter c is not a half-integer).

研究の動機と目的

• 有理Cherednik代数のユニタリ最低重量非可約表現を分類すること、特に有限コクセター群の場合に焦点を当てる。
• I. Cherednikが提起した、A型における多項式モジュールの既約部分表現のユニタリ性に関する問題を解決すること。
• パラメータcに制限を設けずに、有理Cherednik代数の多項式表現の構造に関するKasataniの予想を一般化して確立すること。
• A型有理Cherednik代数の完全なユニタリ性の成立領域を特定すること、連続的および離散的成分の両方を同定すること。
• Enomotoの以前の研究で仮定されていた半整数制限を越えて、ユニタリ表現の分類を他の複素反射群へ拡張すること。

提案手法

• z_1, , z_n で生成されるCherednik-Dunkl部分代数を用い、その作用を重層空間を介して分析する。
• Suzukiの定理（整数パラメータ値 ρ = -1/c ∉ 1/2ℤ における表現の対角化可能性）を、すべての ρ ∉ 1/2ℤ に拡張して適用する。
• 対偶的ヒルベルト形式とその正定値性条件を用いてユニタリティを定義し、問題を 𝔷t-重みのスペクトル解析に還元する。
• intertwiner技法とGriffethの付録の結果を用いて、A型におけるユニタリ性成立領域の完全分類を証明する。
• L_ρ(τ) がユニタリであるための必要十分条件として、 ext{Re}(ct(T^{-1}(n-i+1)) + ρ) ≠ 0 および (ct(T_i) - ct(T_{i+1}))^2 ≠ 1 が成り立つことを適用し、形式の正定値性を保証する。
• 標準的テーブルと内容関数の構造を活用して、重みスペクトルを特徴付け、ヒルベルト形式の正定値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ c がどのような値をとるとき、有理Cherednik代数の最低重量非可約表現 L_c(τ) はユニタリになるか？
• RQ2 c = 1/m で 2 ≠ m ≠ n のとき、H_c(S_n, ℂ^n) の多項式表現の既約部分モジュール N_c はユニタリか？
• RQ3 Kasataniの予想（A型有理Cherednik代数の多項式表現の構造に関するもの）は、c ∉ 1/2ℤ という半整数制限なしに成り立つか？
• RQ4 A型有理Cherednik代数のユニタリティ成立領域 U(τ) の完全な記述は何か？
• RQ5 ユニタリ表現の分類は、G(r,p,n) のような他の複素反射群へ拡張可能か？その拡張に必要な要素は何か？

主な発見

• A型有理Cherednik代数のユニタリティ成立領域 U(τ) は完全に記述された：それは、τ の最大フックの長さを ρ としたときの区間 [-1/ρ, 1/ρ] と、整数 j に対する離散的点 ρ = 1/j からなる。
• 自明表現および符号表現の場合、ユニタリティ成立領域はそれぞれ (-∞, 1/n] および [-1/n, ∞) である。
• c = 1/m で 2 ≠ m ≠ n のとき、多項式表現の既約部分モジュール N_c はユニタリであり、そのユニタリ構造はMacdonald-Mehtaの積分ペアリングによって与えられる。
• Kasataniの予想（A型有理Cherednik代数の多項式表現の構造に関するもの）は、c ∉ 1/2ℤ という制限なしに、一般に証明された。
• S. GriffethによるCherednikのintertwinerとSuzukiの定理を用いた議論により、A型におけるユニタリ表現の完全分類が完成し、論文本体のギャップが解消された。
• L_ρ(τ) のユニタリティは、 ext{Re}(ct(T^{-1}(n-i+1)) + ρ) ≠ 0 および (ct(T_i) - ct(T_{i+1}))^2 ≠ 1 を満たす 𝔷t-重みが存在することと同値であり、これによりヒルベルト形式の正定値性が保証される。