[論文レビュー] Universal Associative Geometry

Wolfgang Bertram|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、集合 Ω からその冪集合 𝒫(Ω) への前群体および同値関係の拡張を通じて、関連幾何学の普遍的枠組みを提示する。これは、可換な同値関係の下での関係的合成を用い、構造的同値関係の下で、関連体構造（pregroupoids および主同値関係）を拡張することで実現される。主な貢献は、部分集合と同値関係の間の双対性を、三項演算を用いた群体構造および二部構造への一般化を通じて、一般化することである。応用例として、トロスルおよび同次幾何学が含まれる。

ABSTRACT

We generalize parts of the theory of associative geometries developed by Kinyon and the author in the framework of universal algebra: we prove that certain associoid structures, such as pregroupoids and principal equivalence relations, have a natural prolongation from a set to its the power set. We reinvestigate the case of homogeneous pregroupoids (corresponding to the projective geometry of a group) from the point of view of pairs of commuting principal equivalence relations. We use the ternary approach to groupoids developed by Anders Kock, and the torsors defined by our construction can be seen as a generalisation of the known groups of bisections of a groupoid.

研究の動機と目的

• 特定の例を超えた関連幾何学の普遍的代数的枠組みを構築すること。
• 普遍代数で指摘された不完全な双対性を補完する形で、部分集合と同値関係の間の双対性を一般化すること。
• 可換な同値関係の下で、Ω から 𝒫(Ω) への前群体および主同値関係の自然な拡張が可能であることを示すこと。
• 三項演算および二部構造を用いて、群体およびトロスル構造を再定式化し、それらの代数的および幾何的側面を統一すること。
• 可換な同値関係の対から、半トロスルおよびトロスルの標準的構成を確立すること。

提案手法

• Kockの三項積形式的記法（[xyz] または xy⁻¹z として表記）を用い、関連的および準関連的構造を定義する。
• 三項積の定義域を、集合 M 上の二つの同値関係 a および b を用いて定義し、積が部分的に定義される場合に前群体と呼ぶ。
• 可換な同値関係の対 (a,b) を固定することで、Ω の部分集合に対する関係的合成 x∘y⁻¹∘z を構成し、構造を介して「集合の合成」を可能にする。
• 前群体 (M,a,b) における二部構造 s を導入し、[g a_g b_g] と [g b_g h] をそれぞれ逆元および合成の定義に用いる。
• 固定された二部構造 s を持つ前群体は、s を単位元の集合として持つ群体に一般化され、三項積 [xyz] は乗法および逆元の両方を符号化する。
• 標準的核および関連対 (U_a, U_b) を用いて、三項積の振る舞いおよび関連体構造の冪集合への延長を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な同値関係の対が与えられたとき、関係の合成を集合 Ω の部分集合へどのように拡張できるか？
• RQ2 単一の三項演算によって、群および群体の両方を一般化する普遍的代数的構造は何か？
• RQ3 部分集合と同値関係の間の双対性は、関係的構造を用いて「部分集合の合成」を可能にする形で完全に完成させられるか？
• RQ4 前群体および主同値関係は、集合 Ω からその冪集合 𝒫(Ω) へどのように拡張されるか？
• RQ5 可換な同値関係の対は、普遍的関連幾何学枠組みにおいて、半トロスルおよびトロスルを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の集合 Ω 上の可換な同値関係の対 (a,b) に対して、冪集合 𝒫(Ω) が関係的合成 x∘y⁻¹∘z を通じて自然に半トロスルの構造を有することを確立している。
• 固定された二部構造 s を持つ前群体 (M,a,b) は、s を単位元の集合として持つ群体に一般化され、三項積 [xyz] は乗法および逆元の両方を符号化する。
• 前群体からトロスルを構成する方法は、既知の群体の二部構造の群を普遍的代数的設定に拡張し、一般化している。
• 標準的核および関連対 (U_a, U_b) は、関連体構造の冪集合への延長を分析するための構造的枠組みを提供する。
• 同次的な場合、(U_a, U_b) の構造は双対な二つのトロスルに対応し、ベクトル空間とその双対空間の間の双対性を一般化する。
• この理論は、リー群とリー代数の関係に類似した、関連代数の普遍的幾何的言語を提供するが、普遍代数および関係的合成の文脈においてである。