[論文レビュー] Universal Bounds on Operator Dimensions in General 2D Conformal Field Theories

Joshua D. Qualls|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般のユニタリ2次元CFT（離散スペクトルを有する）における最も軽いプライマリオペレーターのコンフォーマル次元の普遍的上限を、トーラス分割関数のモジュラー不変性を用いて導出する。ヘルマーマンの境界をチャーラルプライマリオペレーターを含む理論へ拡張し、最も軽い状態が $\Delta_1, \Delta_2 \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ を満たすことを示し、$c_{\rm tot}$ が大きく、適切な $n$ のもとで $\Delta_n \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ を証明する。この結果はAdS$_3$/CFT$_2$重力双対に意味を持つ。

ABSTRACT

We derive a bound on the conformal dimensions of the lightest few states in general unitary 2d conformal field theories with discrete spectra using modular invariance, including CFTs with chiral currents. We derive a bound on the conformal dimensions $Δ_1$ and $Δ_2$ going as $c_{ m tot}/12 + O(1)$. The bound is of the same form found for CFTs without chiral currents in arXiv:0902.2790 and arXiv:1312.0038. We then prove the inequality $Δ_n \leq c_{ m tot}/12 + O(1)$ for large $c_{ m tot}$ and with appropriate restrictions on $n$. Using the AdS$_3$/CFT$_2$ correspondence, our bounds correspond to upper bounds on the masses of the lightest few states and a lower bound on the number of states. We conclude by checking our results against several candidate conformal field theories.

研究の動機と目的

• 2次元ユニタリCFTにチャーラルプライマリオペレーターを含む一般の理論へ、ヘルマーマンのモジュラーブートストラップ境界を、最も軽いプライマリオペレーター次元へ拡張すること。
• 合計中心電荷 $c_{\rm tot}$ の関数として、$\Delta_1$ および $\Delta_2$ の普遍的上界を、チャーラルプライマリが存在する場合でも成り立つ形で確立すること。
• 合計中心電荷 $c_{\rm tot}$ および $n$ に適切な条件を課したもとで、高次プライマリ状態 $\Delta_n$ に対する境界 $\Delta_n \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ を導出できるかを検討し、$c_{\rm tot}$ が大きい場合の漸近的挙動を同定すること。
• これらの境界がAdS$_3$/CFT$_2$双対性とどのように関連するかを検討し、3次元量子重力における最も軽い状態の質量に対する上界として解釈すること。

提案手法

• 任意のリーマン面に於ける2次元CFTの整合性条件として、トーラス分割関数 $Z(\tau) = Z(-1/\tau)$ のモジュラー不変性を用いる。
• モジュラー制約の繰り返し微分を適用し、コンフォーマル次元スペクトルを制約する微分不等式を導出する。
• 分割関数およびその導関数を含む関数 $F_k$ を構成し、オペレーター次元の極値的構成を分析する。
• 関数を最大化するため、最も軽い状態の degeneracy を仮定し、2階微分検定を用いて局所最大値を確認する。
• 特異点 $\tau = i$（$\beta \to 4\pi^2 / \beta$）における分割関数の解析接続および漸近的解析に依存する。
• AdS$_3$/CFT$_2$双対性を用いて、$\Delta_n$ に対する境界を、$M \leq 1/(4G_N) + O(L^{-1})$ の形で、最も軽いバルク状態の質量に対する上界として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリカルプライマリオペレーターを含む2次元CFTに対して、ヘルマーマンの $\Delta_1$ に関する境界を、ストレステンソルを超えて拡張できるか？
• RQ2 離散スペクトルおよび $c, \tilde{c} > 1$ を満たす一般のユニタリ2次元CFTにおいて、$\Delta_1$ および $\Delta_2$ の普遍的境界の形は何か？
• RQ3 $c_{\rm tot}$ および $n$ にどのような条件下で、高次プライマリ状態に対して $\Delta_n \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ の境界を導出できるか？
• RQ4 これらの境界は、AdS$_3$/CFT$_2$双対性を通じて、3次元量子重力の状態スペクトルとどのように関連するか？

主な発見

• 最も軽い真空でないプライマリオペレーターのコンフォーマル次元に対する境界は、$\Delta_1 \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ であり、$c, \tilde{c} > 1$ で離散スペクトルを有するすべてのユニタリ2次元CFTに対して成り立ち、チャーラルプライマリが存在する場合でも有効である。
• 2番目に軽いプライマリに対しても同様の境界 $\Delta_2 \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ が成り立ち、非チャーラルの場合と同様の漸近的スケーリングを示す。
• 高次プライマリ状態 $\Delta_n$ に対しては、$c_{\rm tot}$ が $n$ に対して対数的に増加する条件のもとで、$\Delta_n \leq c_{\rm tot}/12 + O(1)$ の境界が確立される。これは、スペクトルがモジュラー不変性と整合的であることを保証する。
• 分割関数およびその導関数から構成された関数 $F_k$ は、最も軽い状態がデジェネレートしているときに局所最大値を達成し、導出された境界の極値性を確認する。
• 境界は、AdS$_3$/CFT$_2$双対性において、最も軽いバルク状態の質量が $M \leq 1/(4G_N) + O(L^{-1})$ で上界を持つことを示唆する。ここで $G_N$ はニュートン定数、$L$ はAdS半径である。
• 既知のCFTとの比較により、結果は妥当性を確認されており、特にホロモーラフィックCFTや(2,2)SUSY CFTのような特殊な場合において、既存の境界と整合することが示された。