[論文レビュー] Universal construction for the unsorted quantum search algorithms

Xijia Miao|ArXiv.org|Jan 26, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多重量子演算子代数形式を用いた普遍的量子探索アルゴリズムを提案し、指数型発展演算子を、選択的位相シフトと非選択的ユニタリ操作に分解することで、実際の量子探索ネットワークを構築する。この分解には、1キュービットおよび2キュービットの対角位相ゲートを用いる。主な結果として、アルゴリズムの計算複雑性は数値多次元積分に依存し、Hua-Wang法などの効率的な積分手法を用いることで、オракル型普遍的量子コンピュータ上で未整列探索問題を多項式時間で解けるとされる。

ABSTRACT

The multiple-quantum operator algebra formalism has been exploited to construct generally an unsorted quantum search algorithm. The exponential propagator and its corresponding effective Hamiltonian are constructed explicitly that describe in quantum mechanics the time evolution of a multi- particle two-state quantum system from the initial state to the output of the unsorted quantum search problem. The exponential propagator usually may not be compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and hence is not a real quantum search network, but it can be further decomposed into a product of a series of the oracle unitary operations such as the selective phase-shift operations and the nonselective unitary operations which can be expressed further as a sequence of elementary building blocks such as one-qubit quantum gates and the two-qubit diagonal phase gates, resulting in that the decomposed propagator is compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and thus, becomes a real quantum search network. The decomposition for the propagator can be achieved with the help of the operator algebra structure and symmetry of the effective Hamiltonian, and the properties of the multiple-quantum operator algebra spaces, especially the characteristic transformation behavior of the multiple-quantum operators under the z-axis rotations. It has been shown that the computational complexity of the search algorithm is dependent upon that of the numerical multidimensional integration and hence it is believed that the search algorithm could solve efficiently the unsorted search problem. An NMR device is also proposed to solve efficiently the unsorted search problem in polynomial time.

研究の動機と目的

• 量子力学的原則に整合する一般で普遍的な未整列量子探索アルゴリズムの構築を目的とする。
• 指数型発展演算子が探索問題の数学的構造と整合しないことに対処し、物理的に実現可能なユニタリ操作に分解することを目的とする。
• アルゴリズムの計算複雑性が数値多次元積分に依存することを示し、多項式時間での効率的実行が可能である可能性を示すこと。
• 位相サイクリングとTrotter-Suzuki分解を用いて、NMRデバイスおよびオーキュラ型普遍的量子コンピュータ上で実装可能な手法を提案すること。
• マス・量子並列性を活用することで、一般のNP問題、特に未整列探索問題を量子コンピュータが効率的に解けるかどうかを検討すること。

提案手法

• 初期状態から目的状態への多粒子2準位量子系の時間発展を記述するために、多重量子演算子代数形式を用いる。
• 理想化された未整列探索プロセスの時間発展をモデル化するため、指数型発展演算子とその有効ハミルトニアンを構築する。
• 物理的に実現可能なユニタリ操作に分解することで、数学的に整合しない発展演算子を処理する。具体的には、選択的位相シフトと非選択的ユニタリ操作を含む。
• 基本的構成要素（1キュービット量子ゲートと2キュービット対角位相ゲート）を用いて、分解された発展演算子を表現する。
• z軸回転における多重量子演算子の特徴的な変換性を活用し、位相サイクリングと効率的な分解を可能にする。
• Trotter-Suzuki理論と数値多次元積分を用いて有効ハミルトニアンを近似するが、格子点数が効率性に大きく影響する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的に整合的かつ物理的に実現可能な普遍的量子探索アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 数学的に整合しない指数型発展演算子を、物理的に実現可能なユニタリ操作にどのように分解できるか？
• RQ3 アルゴリズムの計算複雑性は数値積分にどのように依存するか？ そして、多項式時間で実行可能になるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、NMRベースの量子コンピュータまたはオーキュラ型普遍的量子コンピュータ上で効率的に実装可能か？
• RQ5 このアプローチにより、未整列探索問題が多項式時間で解けるようになり、一般のNP問題に対する効率的解法の可能性が示せるか？

主な発見

• 指数型発展演算子は正しい時間発展を記述するが、未整列探索問題の数学的構造と整合しないため、実際の量子探索ネットワークとは言えない。
• 発展演算子は、選択的位相シフトと非選択的ユニタリ操作のシーケンスに成功裏に分解され、量子力学的原則と整合し、実際の量子探索ネットワークを形成する。
• アルゴリズムの計算複雑性は、有効ハミルトニアンを近似するために必要な数値多次元積分の複雑さに主に依存する。
• Hua-Wang数論的手法などの効率的な積分手法を用いることで、次元が増加しても格子点数が指数関数的に増加しないため、多項式時間での実行が可能であると示唆される。
• NMRデバイスでは、オーキュラユニタリ操作を直接実装することで、未整列探索問題を多項式時間で解けるナップサック問題に変換できる。
• 提案された量子ネットワーク U_S は、オーキュラ型普遍的量子コンピュータ上で効率的な量子探索ネットワークであるとされ、一般のNP問題を多項式時間で解ける可能性を支持する。