[論文レビュー] Universal lifting theorem and quasi-Poisson groupoids

David Iglesias Ponte, Camille Laurent-Gengoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リー代数準束上の多微分形式の可換なリー代数と、その $\alpha$-単連結かつ $\alpha$-連結なリー群系列の乗法的多ベクトル場の空間との間に同型を構成する普遍的リフト定理を確立する。この結果により、準リー双代数束から準ポisson群系列への統合が証明され、既知の統合定理を一般化し、運動量写像を介してねじれポアンカーレ構造とハミルトニアン空間を統一的な枠組みで扱えるようになる。

ABSTRACT

We prove the universal lifting theorem: for an $α$-simply connected and $α$-connected Lie groupoid $\gm$ with Lie algebroid $A$, the graded Lie algebra of multi-differentials on $A$ is isomorphic to that of multiplicative multi-vector fields on $\gm$. As a consequence, we obtain the integration theorem for a quasi-Lie bialgebroid, which generalizes various integration theorems in the literature in special cases. The second goal of the paper is the study of basic properties of quasi-Poisson groupoids. In particular, we prove that a group pair $(D, G)$ associated to a Manin quasi-triple $(\mathfrak d, \mathfrak g, \mathfrak h)$ induces a quasi-Poisson groupoid on the transformation groupoid $G imes D/G oto D/G$. Its momentum map corresponds exactly with the $D/G$-momentum map of Alekseev and Kosmann-Schwarzbach.

研究の動機と目的

• リー代数準束上の多微分形式とリー群系列上の乗法的多ベクトル場を結ぶ普遍的リフト定理を確立すること。
• リー双代数束に対する既存の統合定理を、準リー双代数束の設定に一般化すること。
• 特にマニン準三重組との関係を含め、準ポアンカーレ群系列の構造と性質を研究すること。
• 準ポアンカーレ群系列のハミルトニアン空間と準ハミルトニアン $G$-空間の間の対応関係を明確にすること。
• アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの $D/G$-運動量写像が、自然に準ポアンカーレ群系列構造から生じることを示すこと。

提案手法

• 次数 $k-1$ の導分として、$k$-微分形式を定義し、その上で重ねたライブニッツ則とヤコビ恒等式を満たすことを導入する。
• リー群系列上の乗法的 $k$-ベクトル場を定義し、普遍的リフト構成により $k$-微分形式とその対応関係を確立する。
• $A$-パスと経路空間 $\widetilde{P}(A)$ を用いて、多ベクトル場をリー代数準束から群系列へリフトする。
• マニン準三重組 $(\mathfrak{d}, \mathfrak{g}, \mathfrak{h})$ から、変換群系列 $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ に準ポアンカーレ群系列構造を構成する。
• 準ポアンカーレ群系列 $\Gamma = G \times D/G \rightrightarrows D/G$ に対するハミルトニアン $\Gamma$-空間の運動量写像が、アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの $D/G$-運動量写像と完全に一致することを証明する。
• ハミルトニアン空間上の2次形式 $\Pi_X$ が、準ポアンカーレ条件 $\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$ を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的リフト機構を用いて、準リー双代数束から準ポアンカーレ群系列への統合を確立できるか？
• RQ2 リー群系列上の乗法的多ベクトル場は、そのリー代数準束上の多微分形式とどのように関係するか？
• RQ3 マニン準三重組に付随する変換群系列 $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ の正確な幾何的構造は何か？
• RQ4 アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの $D/G$-運動量写像は、準ポアンカーレ群系列構造から自然に生じる運動量写像として得られるか？
• RQ5 準ポアンカーレ群系列のハミルトニアン空間と準ハミルトニアン $G$-空間の間に一対一対応が存在するか？

主な発見

• 普遍的リフト定理により、リー代数準束 $A$ 上の多微分形式の空間と、その $\alpha$-単連結かつ $\alpha$-連結なリー群系列 $\Gamma$ 上の乗法的多ベクトル場の空間との間に、次数付きリー代数同型が確立される。
• 準リー双代数束から準ポアンカーレ群系列への統合は、普遍的リフトにより実現され、リー双代数束からポアンカーレ群系列への統合を一般化する。
• マニン準三重組 $(\mathfrak{d}, \mathfrak{g}, \mathfrak{h})$ は、変換群系列 $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ に準ポアンカーレ群系列構造を誘導する。
• この準ポアンカーレ群系列に対するハミルトニアン $\Gamma$-空間の運動量写像は、アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの $D/G$-運動量写像と完全に一致する。
• 運動量写像 $J: X \to S$ を持つ準ハミルトニアン $G$-空間は、群系列 $\Gamma = G \times S \rightrightarrows S$ のハミルトニアン $\Gamma$-空間と同値であり、群系列作用は $J$ を介して定義される。
• ハミルトニアン $\Gamma$-空間上の2次形式 $\Pi_X$ は $\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$ を満たし、準ポアンカーレ条件が確認される。