[論文レビュー] Universal scaling limits of matrix models, and (p,q) Liouville gravity

M. C. Bergère, Bertrand Eynard|ArXiv.org|Sep 4, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 60被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、固有値密度の特異点 $\rho(x) \sim x^{p/2}$ を示す1行列モデルの普遍スケーリング極限が、$(p,2)$ 最小模型カーネルから導かれる行列式相関関数によって支配されることを数学的に証明している。これらのカーネルは、多項式係数をもつ2階の線形微分方程式の解から生じる。$p=1$ の場合のエアリー・カーネルの一般化であり、行列モデルの普遍性と可積分系および$(p,q)$リーマン面重力理論を結びつける。

ABSTRACT

We show that near a point where the equilibrium density of eigenvalues of a matrix model behaves like y ~ x^{p/q}, the correlation functions of a random matrix, are, to leading order in the appropriate scaling, given by determinants of the universal (p,q)-minimal models kernels. Those (p,q) kernels are written in terms of functions solutions of a linear equation of order q, with polynomial coefficients of degree at most p. For example, near a regular edge y ~ x^{1/2}, the (1,2) kernel is the Airy kernel and we recover the Airy law. Those kernels are associated to the (p,q) minimal model, i.e. the (p,q) reduction of the KP hierarchy solution of the string equation. Here we consider only the 1-matrix model, for which q=2.

研究の動機と目的

• 1行列モデルの二重スケーリング極限における相関関数の普遍性を、数学的に厳密に証明すること。
• 行列モデルのスケーリング極限を$(p,2)$最小模型の conformal field theory と可積分階層に結びつけること。
• 制限されたスペクトル曲線のスペクトル不変量が、$(p,2)$ 最小模型の行列式相関関数と一致することを確立すること。
• 既知の$(p,q)$普遍性に関する物理的結果を、$q=2$ の場合に数学的に厳密な枠組みに拡張すること。
• 多行列モデルおよび任意の$(p,q)$極限への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 固有値を $x \sim N^{-q/(p+q)}$ としてスケーリングすることにより、$\rho(x) \sim x^{p/2}$ となる特異点近傍の1行列モデルの二重スケーリング極限を導出する。
• $(p,2)$ カーネルを、次数 $\leq p$ の多項式係数をもつ $2 \times 2$ 線形微分方程式のバーグマン＝アキエツェル関数のクリスティオフェル＝ダーボウスカーネルとして構成する。
• 微分方程式の係数が $p = 2m+1$ のとき、$m+1$ 階のゲルファンド＝ディキイ方程式を満たし、KdV階層と関連することを示す。
• スペクトル曲線とトポロジカル再帰を用いて、制限された相関関数 $\omega_n^{(g)}$ が、$(p,2)$ 最小模型と同一のスペクトル曲線のスペクトル不変量として特定されることを示す。
• ループ方程式と漸近展開の一致により、行列モデルのスケーリング極限と$(p,2)$ 最小模型の行列式相関関数が等価であることを証明する。
• コンツェビッチ積分フレームワークを適用し、結果をリーマン面のモジュライ空間上の自己同型類の交点数として組み合わせ的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1行列モデルの相関関数は、固有値密度の $p/2$ 型特異点近傍の二重スケーリング極限でどのように振る舞うか？
• RQ2 $\rho(x) \sim x^{p/2}$ の場合に、行列モデル相関関数のスケーリング極限を支配する普遍カーネルは何か？
• RQ3 $(p,2)$ 最小模型カーネルは、制限された行列モデルのスペクトル不変量とどのように関係するか？
• RQ4 $(p,2)$ 最小模型相関関数の行列式構造が、行列モデル相関関数の漸近挙動と一致することを示せるか？
• RQ5 ゲルファンド＝ディキイ階層とストリング方程式は、行列モデルと conformal field theory を結びつける役割を果たすか？

主な発見

• 固有値密度の $p/2$ 型特異点近傍における1行列モデルの二重スケーリング極限は、$p=1$ の場合のエアリー・カーネルの一般化である$(p,2)$ カーネルによって支配される相関関数を生じる。
• $(p,2)$ カーネルは、次数 $\leq p$ の多項式係数をもつ $2 \times 2$ 線形微分方程式の解のクリスティオフェル＝ダーボウスカーネルとして与えられる。
• 微分方程式は $p = 2m+1$ のとき、$m+1$ 階のゲルファンド＝ディキイ方程式のLax行列に関連し、KdV階層と結びつく。
• 行列モデルの制限相関関数 $\omega_n^{(g)}$ は、$(p,2)$ 最小模型と同一のスペクトル曲線のスペクトル不変量と一致する。
• $(p,2)$ 最小模型相関関数の行列式表現は、$N$ の主要項において行列モデル相関関数の漸近挙動を再現する。
• 結果はコンツェビッチ積分フレームワークを用いて、リーマン面のモジュライ空間上の自己同型類の交点数として組み合わせ的に解釈される。