[論文レビュー] Conformal Field Theory Techniques in Random Matrix models

Ivan Kostov|ArXiv.org|Jul 8, 1999

Random Matrices and Applications参考文献 1被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、随伴場理論（CFT）の技術を確率的行列モデルに適用し、ヘルミート行列モデルを自由フェルミオンの共形不変理論に再定式化する。スペクトルカーネルおよび同時固有値確率の準古典的表現を、ハイペリエリプティックリーマン面上の電流、フェルミオン、ねじれ演算子の相関関数として得る。これにより、巨視的および微視的スケールの両方で有効な普遍的結果が得られる。

ABSTRACT

In these notes we explain how the CFT description of random matrix models can be used to perform actual calculations. Our basic example is the hermitian matrix model, reformulated as a conformal invariant theory of free fermions. We give an explicit operator construction of the corresponding collective field theory in terms of a bosonic field on a hyperelliptic Riemann surface, with special operators associated with the branch points. The quasiclassical expressions for the spectral kernel and the joint eigenvalue probabilities are then easily obtained as correlation functions of current, fermionic and twist operators. The result for the spectral kernel is valid both in macroscopic and microscopic scales. At the end we briefly consider generalizations in different directions.

研究の動機と目的

• ストリング理論のCFT手法と中間スケール物理学との間の溝を埋めるために、共形場理論の技術をより広い聴衆に利用可能にする。
• 確率的行列モデルにおけるスペクトル相関関数、特にスペクトルカーネルおよび同時固有値確率の体系的なCFTに基づく導出を提供する。
• フェルミオンフォック空間における励起真空状態を用いて、外部行列源を含む行列モデルの標準的フレームワークを一般化する。
• ループ相関関数およびスペクトルカーネルの準古典的振る舞いが、特定のポテンシャルに依存しない形で共形不変性によって普遍的に支配されることを示す。
• 相互作用する行列を含む多行列モデルへCFTアプローチを拡張し、各行列が共形電流を生成すること、および有効ポテンシャルが古典的背景幾何を決定することを示す。

提案手法

• ハイペリエリプティックリーマン面上のボソン場に基づく集団場理論を用いて、ヘルミート行列モデルを共形不変性を持つ自由フェルミオン理論に再定式化する。
• フェルミオンの生成・消滅演算子をCFTにおける電流演算子およびねじれ演算子に写像する操作を用いて、集団場を構築する。
• スペクトルカーネルおよび同時固有値確率を、分岐点における電流演算子、フェルミオン場、ねじれ場の相関関数として表現する。
• バーラソン制約および古典的背景場を用いて、ループ相関関数およびスペクトルカーネルの準古典的表現を導出する。
• フェルミオン演算子に関連する多項式表現に基づくコherent状態に真空状態を置き換えることで、外部源を含むモデルへの形式の一般化を行う。
• モーメント記述および直交多項式技術を用いて、多項式係数から構成される行列の行列式として、分配関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形場理論の技術を、確率的行列モデルにおけるスペクトル相関関数を体系的に導出するためにどのように適用できるか？
• RQ2 ハイペリエリプティックリーマン面は、行列モデルのスペクトル密度および相関構造をどのように符号化しているか？
• RQ3 分岐点におけるねじれ演算子は、スペクトルカーネルの普遍的微視的振る舞いにどのように寄与しているか？
• RQ4 CFTフレームワークを外部行列源を含む行列モデルへ拡張可能か？また、これによりバーラソン制約にどのような影響が生じるか？
• RQ5 準古典的極限におけるループ相関関数およびスペクトルカーネルの普遍的構造は何か？また、共形不変性が普遍性をどのように強制するか？

主な発見

• スペクトルカーネルは、CFTフレームワークにおいて電流演算子およびねじれ演算子の相関関数として導出され、巨視的および微視的スケールの両方で有効な普遍的表現が得られる。
• 同時固有値確率は、リゾルベント演算子の連結相関関数として得られ、CFTの定式化においてループ相関関数と同等である。
• スペクトルカーネルおよびループ相関関数の準古典的表現は、古典的背景場φ_cにのみ依存し、励起真空状態の具体的な形態には敏感でない。
• CFTアプローチにより、短距離スペクトル相関の普遍性が共形不変性の直接的結果であることが明らかになり、深い力学的性質ではないことが示された。
• 外部源を含む分配関数は、直交多項式の係数から構成される行列の行列式として表現され、標準的な公式が非自明な表現へ一般化された。
• 外部源の存在下ではバーラソン制約が変更されるが、左真空が負のバーラソンモードで消滅しなくなるため、古典的解は依然として主要項の振る舞いを決定する。