[論文レビュー] Universal Terms of Entanglement Entropy for 6d CFTs

Rong-Xin Miao|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 40被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、六次元自己対称場理論（6d CFTs）におけるエンタングルメントエントロピーの普遍対数項を、ホログラフィックおよび場理論的手法を用いて導出する。$C^2$および$Ck^2$項については両手法で正確な一致が示され、$k^4$項についても、コニカル計量における分割問題を運動方程式と境界条件の仮定により解消することで、非自明な一致が確認される。

ABSTRACT

We derive the universal terms of entanglement entropy for 6d CFTs by applying the holographic and the field theoretical approaches, respectively. Our formulas are conformal invariant and agree with the results of [34,35]. Remarkably, we find that the holographic and the field theoretical results match exactly for the $C^2$ and $Ck^2$ terms. Here $C$ and $k$ denote the Weyl tensor and the extrinsic curvature, respectively. As for the $k^4$ terms, we meet the splitting problem of the conical metrics. The splitting problem in the bulk can be fixed by equations of motion. As for the splitting on the boundary, we assume the general forms and find that there indeed exists suitable splitting which can make the holographic and the field theoretical $k^4$ terms match. Since we have much more equations than the free parameters, the match for $k^4$ terms is non-trivial.

研究の動機と目的

• 6d CFTの普遍対数項を、先行研究が破綻させるような共形不変性の欠如を回避して導出すること。
• 6d CFTにおけるエンタングルメントエントロピーのホログラフィック的手法と場理論的手法を統合し、特に高次曲率項についての整合性を確立すること。
• ホログラフィックおよび場理論的手法の結果を一致させるために、$k^4$項におけるコニカル計量の分割問題を、ボトムおよび境界で一貫して解消すること。
• $k^4$項の一致が、自由パラメータ数に対して過剰に制約された方程式系の結果であるため、非自明であることを示すこと。
• 4d CFTの既知の結果を6d CFTに一般化し、Weylテンソル$C$および外的曲率$k$を含む共形不変な普遍項を同定すること。

提案手法

• Ryu-Takayanagi予想および高次曲率重力への一般化に基づくホログラフィックエンタングルメントエントロピー形式を適用する。
• Waldエントロピー形式を用いて、トレース異常を重力的作用とみなして、Weyl異常から普遍対数項を計算する。
• 計量の摂動に対する作用の汎関数変動を導出し、$C^2$、$Ck^2$、$k^4$不変量に注目して普遍項を抽出する。
• ボトムで運動方程式を課し、境界で一般形を仮定することで、コニカル計量における分割問題を解消し、場理論的結果と一致させる。
• 外的曲率$k_{ij}$および誘導計量$h_{ij}$を含む、内在的共変微分$D_i$と関連する恒等式を用いて、複雑な曲率表現を簡略化する。
• エンタングルメントエントロピーの変動$\delta_\sigma S_E$を明示的に計算し、全微分項に帰着されることを示し、境界項を除いて共形不変性が保たれることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6d CFTにおけるエンタングルメントエントロピーの普遍対数項は、先行研究が共形不変性を破る欠陥を克服して、共形不変な方法で導出可能か？
• RQ2 ホログラフィックおよび場理論的手法が、6d CFTにおける普遍$C^2$、$Ck^2$、$k^4$項について同一の結果をもたらすか？
• RQ3 $k^4$項に生じるコニカル計量における分割問題を、ボトムおよび境界で一貫して解消する方法は何か？ これによりホログラフィックおよび場理論的手法の結果が一致する。
• RQ4 自由パラメータ数に対して過剰に制約された方程式系であるため、$k^4$項の一致は非自明なものか？
• RQ5 Weyl異常およびその不変量$I_1$、$I_2$、$I_3$は、6d CFTにおける普遍エンタングルメントエントロピー構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ホログラフィックおよび場理論的手法は、$C^2$および$Ck^2$項について同一の普遍項をもたらし、両手法の整合性を確認する。
• $k^4$項については、一致が非自明である：方程式系の自由度が自由パラメータ数を上回っているため、両手法の一致を達成できるのは特定の境界上の分割形式に限られる。
• ボトムにおける分割問題は運動方程式により解消され、ホログラフィック計算における一貫性が保たれる。
• 境界における分割は一般形で仮定され、$k^4$項が両手法で一致する解が存在する。
• 最終的なエンタングルメントエントロピー式は、全微分項を除いて共形不変であり、導出された項の普遍性および不変性を確認する。
• 6d CFTにおける普遍エンタングルメントエントロピーの導出式は共形不変であり、HungとSafdiの結果の極限において一致するが、完全に共形不変な枠組みに一般化されている。