[論文レビュー] Universality in the tripartite information after global quenches

Vanja Marić, Maurizio Fagotti|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、グローバルクエンチ後の1次元量子スピン鎖におけるRényi三重情報 $I_3^{(\alpha)}$ を調査し、長時間極限においてクロス比 $x$ に関する普遍的スケーリングを示している。自由フェルミオンに双対する系では、残渣的三重情報——$x \to 1^{-}$ の極限として定義される——は、Rényi指数 $\alpha$ に依存せず常に $-\log 2$ となることが示され、クエンチ後の定常状態において非ゼロの普遍的エンタングルメント特徴が存在することを示している。

ABSTRACT

We consider macroscopically large 3-partitions $(A,B,C)$ of connected subsystems $A\cup B \cup C$ in infinite quantum spin chains and study the Rényi-$α$ tripartite information $I_3^{(α)}(A,B,C)$. At equilibrium in clean 1D systems with local Hamiltonians it generally vanishes. A notable exception is the ground state of conformal critical systems, in which $I_3^{(α)}(A,B,C)$ is known to be a universal function of the cross ratio $x=|A||C|/[(|A|+|B|)(|C|+|B|)]$, where $|A|$ denotes $A$'s length. We identify different classes of states that, under time evolution with translationally invariant Hamiltonians, locally relax to states with a nonzero (Rényi) tripartite information, which furthermore exhibits a universal dependency on $x$. We report a numerical study of $I_3^{(α)}$ in systems that are dual to free fermions, propose a field-theory description, and work out their asymptotic behaviour for $α=2$ in general and for generic $α$ in a subclass of systems. This allows us to infer the value of $I_3^{(α)}$ in the scaling limit $x ightarrow 1^-$, which we call ``residual tripartite information''. If nonzero, our analysis points to a universal residual value $-\log 2$ independently of the Rényi index $α$, and hence applies also to the genuine (von Neumann) tripartite information.

研究の動機と目的

• グローバルクエンチ後の1次元量子スピン鎖における三重情報の長時間挙動を理解すること。
• 定常状態においてRényi三重情報が非ゼロかつ普遍的である条件を特定すること。
• クロス比 $x \to 1^{-}$ の極限において、普遍的残渣的三重情報が存在するかを同定し、その値を特定すること。
• スケーリング極限における $I_3^{(\alpha)}$ の場理論的記述を確立し、数値的に検証すること。
• 普遍的値 $-\log 2$ が異なるクエンチプロトコルおよびモデルにわたって一般化可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 本研究は、一般化XYモデルの自由フェルミオン双対に焦点を当て、スピン鎖を非相互作用フェルミオンに写像するためのJordan-Wigner変換を用いる。
• Rényi-α三重情報は、フェルミオンの相関行列 $\Gamma_{\ell n} = \delta_{\ell n} - \langle a_\ell a_n \rangle$ を用いて計算され、縮約密度行列の固有値からエントロピーが導かれる。
• 非交差ブロックの場合、参照文献[24]および[39]に基づく一般化アルゴリズムを用い、$S_\alpha(A \cup C)$ を四つの相関行列を介して計算する。定常状態では長距離項のみを保持する。
• 長時間定常状態は一般化ギブズ集合で記述され、その相関行列は数値的に抽出される。
• 解析的に $\alpha=2$ の場合の漸近的挙動を導出し、一般の $\alpha$ については予想を提示する。フェルミオンの2点関数に基づく場理論的記述が用いられる。
• クロス比依存性 $G_\alpha(x)$ を数値的に計算し、特に $x \to 1^{-}$ の極限において解析的予測と比較する。

Figure 1: Rényi-2 tripartite information for the quench in the XY model $(J_{x},J_{y},h):(1,1,1)\rightarrow(1,0.5,0.5)$ for $|A|=|C|\in\{45,90,180,360\}$ and variable $|B|$ . The solid curve is prediction ( 9 ). Inset: the relative error $\eta_{3}^{(2)}$ as a function of $l=\min(|A|,|B|,|C|)$ for al

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子系におけるグローバルクエンチ後、長時間極限においてRényi三重情報が非ゼロかつ普遍的であるか。
• RQ2 $x \to 1^{-}$ の極限において、普遍的残渣的三重情報が出現するか。その値は何か。
• RQ3 残渣的三重情報がRényi指数 $\alpha$ に依存せず、ボーディング極限（$\alpha \to 1$）にも拡張可能か。
• RQ4 場理論的記述 $I_3^{(\alpha)}$ は、交差対称性が欠如する状況でもCFT予測と一致するか。
• RQ5 緩やかに減衰する相関が、定常状態における普遍的かつ非ゼロの三重情報の実現に果たす役割は何か。

主な発見

• 極限 $x \to 1^{-}$ における残渣的三重情報は、Rényi指数 $\alpha$ に依存せず普遍的であり、$-\log 2$ に等しい。これは $\alpha \to 1$ のボーディング極限に対しても成り立つ。
• $\alpha = 2$ の場合、漸近的挙動は解析的に予測され、$G_2(x) = \log\left(\frac{1 + (1 - x)^\gamma}{2}\right)$ と表され、$G_2(1^{-}) = -\log 2$ を得る。
• $G_2(x)$ の数値結果は、解析的予測と良好に一致し、異なるクエンチプロトコルおよびフェルミオンパラメータにわたる普遍的挙動を確認している。
• 系には交差対称性が存在しないため $G\alpha(x) \neq G_\alpha(1 - x)$ であるが、$x \to 1^{-}$ の極限においても普遍的であり、$-\log 2$ に等しい。
• 残渣的三重情報が非ゼロとなるのは、相関が緩やかに減衰する場合に限り、熱的状態やギャップを持つ系では消える。これは非平衡状態における特徴的な普遍的性質を示している。
• この結果は、$-\log 2$ が、グローバルクエンチ後の1次元系における特定の非熱的で長寿命の量子状態の普遍的シグネイチャである可能性を示唆している。

Figure 2: Rényi- $\alpha$ tripartite information at infinite time after the quench from $\ket{\ldots\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\ldots}$ under the XY Hamiltonian ( 3 ) with $(J_{x},J_{y},h)=(1,0.5,0)$ for $|A|=|C|\in\{50,100,150,200\}$ and variable $|B|$ . The solid curves are predictions (