[論文レビュー] Unsolved problems in ordered and orderable groups

V. V. Bludov, A. M. W. Glass+2 more|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、関数解析学、群論、価値論から得られる情報に基づき、順序付き群および格子順序付き群の理論における未解決問題の包括的かつ更新されたリストを編纂している。格子順序、残余的性質、多様体、埋め込み、決定可能性に関する未解決問題を提示し、解決済み問題の解説と、今後の研究のための新たな挑戦を提示している。

ABSTRACT

We provide a list of (mainly unsolved) problems in ordered and orderable groups. These were originally compiled 10 years ago by the last two authors. New problems have been added to the list. Progress on some of these is noted and references provided. A few have been solved and their solutions are noted and referenced. We hope that this submission will act as a spur to mathematicians to solve some of them!

研究の動機と目的

• コンラッド、マルチェフ、ベアの基礎的研究に基づき、順序付き群および格子順序付き群における未解決問題の決定的リストを編纂・更新すること。
• 順序付き群の構造理論における今後の研究を導くために、解説、解決策、および新たな問題を提供すること。
• 『クラスコフカ・ノート』の範囲を、順序付き群および格子順序付き群という特定分野に拡張すること。
• エンゲル群、ノルム群、メタアーベル群などの群のクラスにおける、多様体、埋め込み、決定可能性、順序可能性に関する未解決の問いを浮き彫りにすること。
• 有限個の順序を持つ群の存在や、自由格子順序群の理論の決定可能性といった、主要な挑戦を特定することで研究を刺激すること。

提案手法

• 特にニコライ・ヤ・メドヴェデフ記念集とその後の研究から、文献に登場する未解決問題を体系的に収集すること。
• もともとはロシア語で書かれた問題リストを英語に翻訳・拡張し、詳細な解説と最新の状況を加えること。
• ガス、ブルドフ、ナヴァスらの主要研究者によって提案された新たな問題を統合し、特に順序可能性、埋め込み、決定可能性に関する問題に焦点を当てる。
• トピック別に問題を分類：格子順序群、順序可能群、多様体、準多様体。構造的およびモデル理論的性質に重点を置く。
• ホランドの表現定理と普遍代数学的道具を用いて、群論的性質と順序論的性質を結びつけること。
• 元のリストの約1/8に当たる問題に対して解決策を提示し、未解決問題にはアsterisk（*）を付けて強調すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ℓ群における格子順序は、弱アーベル的全順序に拡張可能か？
• RQ2 すべてのねじれなしアーベル群は、アルキメデス的格子順序をもつのか？
• RQ3 n > 1 個の生成元をもつ自由ℓ群の理論は決定可能か？
• RQ4 単純な表示を持つ順序可能群で、語問題が解けないものはあるか？
• RQ5 すべてのエンゲルℓ群は、残余的に順序可能か？

主な発見

• 問題3.5は解決済み：ブルドフ、コピツォフ、レムトゥラによって、周期的アーベル化をもつ可解順序可能群が存在することが示された。
• 問題3.12および3.13は否定的解答を得た：ゴロド群が、非アーベル自由部分半群が存在しないという仮説がノルム性を意味するという予想の反例を提供している。
• 問題3.14は否定的に解決された：すべての順序可能ノルム群-アーベル群は、可除順序群に埋め込めない。
• 問題3.24は部分的に解決された：k = 4n または k = 2(4n+3) の場合、正確にk個の格子順序を持つメタアーベル群が存在するが、G₁₀ および G₁₈ については未解決のまま。
• 問題3.25は解決済み：自由群の有限非空部分集合は、すべての要素が厳密に正であるような一意の右順序をもたない。
• 問題3.28は否定的に解決された：相対的凸部分群の正規化群が、必ずしも相対的凸であるとは限らない。