[論文レビュー] Unstable pressure and u-equilibrium states for partially hyperbolic diffeomorphsims

Huyi Hu, Weisheng Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所不安定な葉上の力学を用いて $ C^1 $-部分的双曲的微分同相写像に対して不安定圧力 $ P^u(f,\varphi) $ を定義し、不安定エントロピーとポテンシャル $ \varphi $ の積分との間の変分原理を確立し、u-均衡状態を最大化する測度として特徴づける。主な貢献は、u-均衡状態の存在を証明し、それらをGibbs u-状態と関連づけ、不安定圧力の微分可能性を特定することにある。

ABSTRACT

Unstable pressure and u-equilibrium states are introduced and investigated for a partially hyperbolic diffeomorphsim $f$. We define the u-pressure $P^u(f, φ)$ of $f$ at a continuous function $φ$ via the dynamics of $f$ on local unstable leaves. A variational principle for unstable pressure $P^u(f, φ)$, which states that $P^u(f, φ)$ is the supremum of the sum of the unstable entropy and the integral of $φ$ taken over all invariant measures, is obtained. U-equilibrium states at which the supremum in the variational principle attains and their relation to Gibbs u-states are studied. Differentiability properties of unstable pressure, such as tangent functionals, Gateaux differentiability and Fréchet differentiability and their relations to u-equilibrium states, are also considered.

研究の動機と目的

• 局所不安定な葉上の力学を用いて $ C^1 $-部分的双曲的微分同相写像に対して不安定圧力 $ P^u(f,\varphi) $ を定義すること。
• 変分原理 $ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $ を確立すること。ここで、上界はすべての $ f $-不変測度の上をとる。
• 変分原理における上界を達成するu-均衡状態—すなわち、最大化する測度—を研究し、それらとGibbs u-状態との関係を明らかにすること。
• 不安定圧力の微分可能性（Gateaux、Fréchet）の性質を分析し、それらがu-均衡状態の一意性およびその接関数との関連を明らかにすること。

提案手法

• 局所不安定な葉に沿った $ \varphi $-重みの漸近的成長率を用いて不安定圧力 $ P^u(f,\varphi) $ を定義する。
• 古典的圧力のWaltersの手法とHu-Hua-Wuの不安定エントロピー枠組みを適応し、変分原理を証明する。
• 不安定エントロピー写像 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $ の上半連続性を用いて、u-均衡状態の存在を保証する。
• 測度論的性質を不安定多様体上で用いて、$ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $ におけるu-均衡状態をGibbs u-状態と関連付ける。
• 摂動による不変測度の収束を調べることで、$ P^u(f,\cdot) $ の微分可能性を分析する。
• Fréchet微分可能性の条件 $ P^u(f,\cdot) $ が $ \varphi $ で成り立つことと、u-均衡状態の一意性および最大化点からの不安定エントロピーの均一な制御の両方が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不安定圧力 $ P^u(f,\varphi) $ に対して、古典的圧力の変分原理と類似した変分原理が成り立つか？
• RQ2 $ C^1 $-部分的双曲的微分同相写像に対して、u-均衡状態は常に存在するのか？また、古典的均衡状態とはどのように異なるか？
• RQ3 u-均衡状態とGibbs u-状態の関係は何か？特に、$ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $ の場合に注目する。
• RQ4 不安定圧力の微分可能性（Gateaux、Fréchet）の性質は、u-均衡状態の一意性および安定性とどのように関連するか？
• RQ5 不安定圧力は不変測度を決定づけることができるのか？また、接関数はu-均衡状態を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• $ C^1 $-部分的双曲的微分同相写像に対して、変分原理 $ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $ が成り立つ。
• 上半連続性 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $ のため、任意の連続ポテンシャル $ \varphi $ に対してu-均衡状態が存在する。これは古典的均衡状態とは対照的である。
• ポテンシャル $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $ に対して、u-均衡状態は $ f $ のGibbs u-状態と一致する。
• 不安定圧力 $ P^u(f,\cdot) $ が $ \varphi $ でFréchet微分可能であることと、$ \varphi $ におけるu-均衡状態が一意的かつ均一なエントロピー制御の意味で孤立していることは同値である。
• u-均衡状態の集合は空でなくコンパクトであり、その一意性は $ P^u(f,\cdot) $ の $ \varphi $ におけるFréchet微分可能性と同値である。
• もし $ \mu_\varphi $ が一意なu-均衡状態であれば、すべての $ \psi $ に対して $ \varphi $ の近傍で $ P^u(f,\psi) = h^u_{\mu_\varphi}(f) + \int_M \psi \, d\mu_\varphi $ が成り立つ。これは不安定圧力の局所線形性を示している。