[論文レビュー] Updating Sets of Probabilities

Adam J. Grove, Joseph Y. Halpern|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 18被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、確率測度の集合の文脈において、条件付き確率の更新規則としての条件づけの正当性を検討し、単一測度の更新に関して十分であったヴァン・フラッセーンの公理が、測度の集合の文脈では更新規則を一意に特定しないことを示している。著者らは、基本的な公理を満たす複数の更新メカニズムが存在することを示し、条件づけを一意に回復するには、より強く、やや説得力に欠ける制約を追加する必要があることを明らかにした。これは、単一事前分布と複数事前分布の更新フレームワークの間には根本的な乖離があることを示している。

ABSTRACT

There are several well-known justifications for conditioning as the appropriate method for updating a single probability measure, given an observation. However, there is a significant body of work arguing for sets of probability measures, rather than single measures, as a more realistic model of uncertainty. Conditioning still makes sense in this context--we can simply condition each measure in the set individually, then combine the results--and, indeed, it seems to be the preferred updating procedure in the literature. But how justified is conditioning in this richer setting? Here we show, by considering an axiomatic account of conditioning given by van Fraassen, that the single-measure and sets-of-measures cases are very different. We show that van Fraassen's axiomatization for the former case is nowhere near sufficient for updating sets of measures. We give a considerably longer (and not as compelling) list of axioms that together force conditioning in this setting, and describe other update methods that are allowed once any of these axioms is dropped.

研究の動機と目的

• ヴァン・フラッセーンの確率的更新のための公理が、単一測度ではなく測度の集合に適用された場合にも依然として十分であるかどうかを評価すること。
• 不確実な確率（測度の集合によってモデル化される）の文脈において、標準的な条件づけの正当化の限界を特定すること。
• 測度の集合フレームワークにおいて、最小限の公理的仮定のもとで、条件づけが一意の更新メカニズムのまま残るかどうかを特定すること。
• 基本的な合理性の制約を満たすが、条件づけと等価でない代替の更新メカニズムを同定すること。
• 標準的な公理が失敗するにもかかわらず、測度の集合の文脈において、条件づけが一意に正当化される条件を確立すること。

提案手法

• 測度の集合の文脈に、ヴァン・フラッセーンの公理（特に、証拠Bが得られた後はPr'(B) = 1であるという『確実性の公理』と、世界の再ラベル化に対して不変であるという『表現の独立性』）を適応すること。
• これらの2つの公理だけでは、測度の集合の文脈における条件づけを一意に特徴づけられないことを示す反例を構成すること。
• P1–P7からなるより強い公理群を導入し、条件づけを一意の更新規則として強制する。特にP6*およびP6**が、確率更新の上限を制限する上で重要な役割を果たす。
• 非可算な空間（例えば、ルベーグ測度を備えた単位区間）を用いた表現の転換の議論を用いて、特に補題A.6を証明する。補題A.6は、異なる測度間での条件付き確率の関連を示す。
• 命題4.8において、矛盾の議論を用い、確率更新の上限を超過するような違反が生じると、公理の下で不整合が生じることを示し、したがって、完全な公理集合のもとでは、条件づけが唯一一貫性を保つ更新規則であることを証明する。
• 反復更新を用いた2段階の更新構成を用い、非条件づけルールが理論的上限を超えて確率の増加を引き起こす可能性があることを示し、公理に反することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァン・フラッセーンの2つの公理（確実性と表現の独立性）は、測度の集合を更新する文脈において、条件づけを一意に特徴づけるのに十分か？
• RQ2 測度の集合フレームワークにおいて、条件づけを一意の更新メカニズムとして強制するために、どのような追加公理が必要か？
• RQ3 代替の更新メカニズムは、基本的な合理性の制約を満たすが、条件づけとは異なる場合があるか？
• RQ4 標本空間の構造（有限 vs. 非可算）は、重要な補題の妥当性や、更新規則の全体的な特徴づけにどのように影響を与えるか？
• RQ5 合理的な更新規則のもとで、ある事象の確率がどの程度まで増加しうるかの定量的上限は存在するか？ そして、この上限は条件づけを一意に特定するか？

主な発見

• ヴァン・フラッセーンの2つの公理（確実性と表現の独立性）は、測度の集合の文脈において、条件づけを一意に特徴づけない。複数の更新メカニズムがこれらを満たす。
• 制約付き更新規則（証拠と整合する元の集合内の測度のみを返す規則）は、2つの基本公理を満たすが、条件づけとは等価ではない。
• 測度の集合の文脈において、条件づけを一意に回復するには、著しく長く、直感的でない公理群（P1–P7）が必要となる。
• 補題A.6は、条件付き確率と測度の一貫性の間の重要な関係を確立しており、更新された集合に属する任意の測度について、ある事象の外で条件づけと同様に振る舞う別の測度が存在することを示している。
• 命題4.8は、完全な公理集合のもとで、更新関数がすべてのM, A, Bについてuupd,M,Pr(A,B) = 1を満たす必要があることを証明しており、これは条件づけが唯一一貫性を保つ更新メカニズムであることを示している。
• 証明は、反復更新と確率増加の上限cを用いた矛盾の議論に依拠しており、非条件づけルールが上限を超過すると、公理が破綻することを示している。