[論文レビュー] Updating the error term in the prime number theorem

Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、リーマン・ゼータ関数の零点非存在領域を精緻化することで、素数定理における誤差項を改善し、$|\theta(x) - x|$ および $|\psi(x) - x|$ に対してより鋭い明示的評価を得た。$R = 6.455$ および $B = 17$ の新しい零点非存在領域を用いて、$x \geq 149$ および $x \geq 23$ で有効なより鋭い推定値を確立し、素数分布、等差数列、短区間、ラマヌジャンの不等式への応用で改善された結果を得た。

ABSTRACT

An improved estimate is given for $|θ(x) -x|$, where $θ(x) = \sum_{p\leq x} \log p$. Three applications are given: the first to arithmetic progressions that have points in common, the second to primes in short intervals, and the third to a conjecture by C. Pomerance.

研究の動機と目的

• チェビシェフ関数 $\theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p$ における素数定理の明示的誤差項を改善すること。
• リーマン・ゼータ関数の零点非存在領域を精緻化し、$|\theta(x) - x|$ および $|\psi(x) - x|$ の評価を鋭くすること。
• 改善された誤差項推定値を、等差数列における素数、短区間、ラマヌジャンの不等式に関する結果の強化に応用すること。
• 以前の研究（シューフェルトおよびデュサルトを含む）を拡張または改善する、明示的かつ数値的に検証可能な境界を提供すること。

提案手法

• カディリの結果と $H = 3.061 \times 10^{10}$ までのリーマン予想の検証済み高さを用いて、$\zeta(s)$ の新しい零点非存在領域を導出する。
• 改善された零点非存在領域を用いて、$X = \sqrt{(\log x)/R}$ および $R = 6.455$ のもとで誤差項 $\epsilon_0(x) = \sqrt{\frac{8}{17\pi}} X^{1/2} e^{-X}$ を再評価する。
• 解析的推定と数値的検証の組み合わせにより、$x \geq 149$ に対して $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ および $x \geq 23$ に対して $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ を適用する。
• 小さな $x$ におけるファーベルとカディリの $|\psi(x) - x|$ の境界を用い、新しい誤差項と組み合わせることで、$x \geq e^{25}$ まで有効性を拡張する。
• $\pi(x) - \textrm{li}(x) = \frac{\theta(x) - x}{\log x} + \int_2^x \frac{\theta(t) - t}{t \log^2 t} dt + \text{定数}$ の関係を用いて、$|\pi(x) - \textrm{li}(x)|$ の改善された境界を導出する。
• 改善された境界を用いて、ポーマランスのP整数に関する予想および $\pi(x)$ を含むラマヌジャンの不等式に関する結果を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ゼータ関数の零点非存在領域を精緻化することで、素数定理における誤差項を改善できるか？
• RQ2 現在の零点非存在領域推定値とリーマン予想の数値的検証を用いて、$|\theta(x) - x|$ および $|\psi(x) - x|$ の最も鋭い明示的境界は何か？
• RQ3 改善された誤差項推定値は、短区間における素数分布や等差数列への応用にどのように影響を与えるか？
• RQ4 改善された誤差項推定値を用いて、ポーマランスのP整数に関する境界や $\pi(x)$ を含むラマヌジャンの不等式の境界を強化できるか？
• RQ5 現代の零点非存在領域結果を用いて、シューフェルトの元の手法をどの程度更新し、より鋭い明示的境界を得られるか？

主な発見

• 論文は、$R = 6.455$ を用いて、すべての $x \geq 149$ に対して $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ を確立し、シューフェルトの $R_0 = 9.6459$ よりも改善された。
• $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ はすべての $x \geq 23$ で成り立ち、以前の結果と比べて閾値が著しく低下した。
• 改善された誤差項により、$x \geq 229$ に対して $|\pi(x) - \textrm{li}(x)| \leq 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp\left(-\sqrt{\frac{\log x}{6.455}}\right)$ が得られ、デュサルトの境界を改善した。
• 短区間における素数の境界が改善された：$x \geq e^{1383} \approx 3.2 \times 10^{600}$ のとき、$(x - x/\Delta, x]$ には常に素数が存在し、$\Delta = 212215384$ である。これは $x \geq e^{150}$ の場合に以前の結果を上回る。
• 論文は、$k$ がP整数であれば $k < 10^{1805}$ であることを証明し、ハジュ、サラダ、トイジマンの以前の $k < 10^{3500}$ の境界を改善した。
• 改善された誤差項を用いて、論文は、すべての $x \geq \exp(9658)$ で、条件なしにラマヌジャンの不等式 $\pi(x)^2 < \frac{e x}{\log x} \pi(x/e)$ が成り立つことを示した。これは以前の結果に比べて顕著な改善である。