[論文レビュー] User guide on Hopf bifurcation and time periodic orbits with pde2path

Hannes Uecker|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限要素法を用いたPDE用のMATLABツールボックスpde2pathにおけるHopf分岐解析および周期的軌道継続の包括的なユーザーガイドを提示する。時間周期的解の検出と追跡のための数値的手法について詳細に記述しており、対称性を考慮した継続、Floquet乗数を用いた分岐検出、O(2)対称性、質量保存、位相制約を有する系のための特別なルーチンを含む。これにより、PDEにおけるHopf分岐枝および2次分岐の堅牢な計算が可能になる。

ABSTRACT

We explain the setup for using the pde2path libraries for Hopf bifurcation and continuation of branches of periodic orbits and give implementation details of the associated demo directories. See [Uecker, Comm. in Comp. Phys., 2019] for a description of the basic algorithms and the mathematical background of the examples. Additionally we explain the treatment of Hopf bifurcations in systems with continuous symmetries, including the continuation of traveling waves and rotating waves in O(2) equivariant systems as relative equilibria, the continuation of Hopf bifurcation points via extended systems, and some simple setups for the bifurcation from periodic orbits associated to critical Floquet multipliers going through +-1.

研究の動機と目的

• 時間周期的解を有するPDEにおけるHopf分岐の検出および継続を実装するための実用的で実装志向のガイドを提供すること。
• 連続的対称性（O(2)同変性、質量保存、位相不変性など）を有する系を扱えるようにpde2pathの機能を拡張すること。このような系では、特殊な位相条件が必要となる。
• Hopf分岐点および周期的軌道からの分岐切り替え（周期倍分岐やHopf-pitchfork分岐を含む）の継続を可能にすること。
• 標準的な初期値スチルバーグ法が失敗するが、継続法は依然として有効である非散逸的および不適切に定義されたPDE（例：後退拡散を有する最適制御問題）を扱えるようにすること。
• 周期的軌道計算の高度なルーチン（アーク長継続、メッシュの適応、事後乗数計算など）の使用を文書化し、標準化すること。

提案手法

• PDEの空間半離散化を有限要素法により大規模なODE系に変換し、pde2pathの組み込みソルバーを用いて定常解および周期的軌道の継続が可能になる。
• 時間方向に陰的時間積分とアーク長継続を用いた「方法のライン」を適用し、周期的軌道の追跡を実現。ハーモニックバランス法およびTOM（時間継続法）を用いて計算を効率化する。
• 拡張系を用いてHopf分岐点を特定する。これには固有値条件と位相制約を含む拡張系を解く。
• Floquet理論を用いてモノドロミー行列およびその固有値（Floquet乗数）を計算し、直接計算および事後計算の両方のルーチンを提供する。
• 対称系における位相の不確実性を解消するため、積分型またはコロケーション型の位相条件を導入。これにより、相対的平衡状態および周期的軌道の安定的継続が可能になる。
• 予測子・修正子スキームを用い、拡張系におけるヤコビ行列の使用と時間方向の適応的メッシュ細分化を含む、ニュートン反復を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な空間的・時間的ダイナミクスを示すPDEにおいて、有限要素法を用いてHopf分岐を信頼性高く検出・継続するにはどうすればよいか？
• RQ2 連続的対称性（例：並進不変性や回転不変性）を有する系において、周期的軌道を継続するために必要な数値的戦略は何か？
• RQ3 周期的軌道からの分岐（周期倍分岐やHopf-pitchfork分岐など）をFloquet乗数解析を用いて検出・局在化するにはどうすればよいか？
• RQ4 非散逸的または不適切に定義されたPDE（例：後退拡散を有する最適制御問題）を扱う継続フレームワークに必要な修正は何か？
• RQ5 対称系における周期的軌道の継続を安定化させるために、位相条件を適切に定式化・実装するにはどうすればよいか？

主な発見

• pde2pathフレームワークは、1次元、2次元、3次元のPDE、特に複素Ginzburg-Landau方程式やBrusselator系において、Hopf分岐の検出および継続に成功している。
• O(2)対称性を有する系では、移動波と定常波を区別でき、相対的平衡状態および相対的周期的軌道を正しく計算している。
• 位相条件の使用により、質量保存および並進不変性を有する系（例：Kuramoto-Sivashinsky方程式やFHN型モデル）において、周期的軌道の安定的継続が可能になった。
• 正規形係数を用いた予測子・修正子スキームにより、Hopf軌道からの分岐切り替えが実現され、周期倍分岐やHopf-pitchfork分岐の検出が可能になった。
• 事後乗数計算（floqap）およびメッシュ適応（hopftref）の実装により、長時間周期的軌道の継続における精度と頑健性が向上した。
• 非散逸的PDE（例：最適汚染制御問題）に対しても、本手法は有効であり、標準的な時間積分法では失敗するが、周期的軌道の継続は依然として可能である。