[論文レビュー] Using an old method of Jacobi to derive Lagrangians: a nonlinear dynamical system with variable coefficients

M. C. Nucci, K. M. Tamizhmani|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance参考文献 15被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、変数係数をもつ2階非線形常微分方程式、たとえば $\ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0$ に対して、ヤコビの最終乗数法が、ラグランジアンを導出する強力で体系的な手法を提供することを示している。ムジラックらの手法とは異なり、長大な計算を要するのではなく、1次積分と乗数の乗算を用いることで、同じ特定のラグランジアンに加え、無限個の異なるラグランジアンを導出でき、新たな解法を明らかにするとともに、リー対称性およびノネル対称性との深い関係を示している。

ABSTRACT

We present a method devised by Jacobi to derive Lagrangians of any second-order differential equation: it consists in finding a Jacobi Last Multiplier. We illustrate the easiness and the power of Jacobi's method by applying it to the same equation studied by Musielak et al. with their own method [Musielak ZE, Roy D and Swift LD. Method to derive Lagrangian and Hamiltonian for a nonlinear dynamical system with variable coefficients. Chaos, Solitons & Fractals, 2008;58:894-902]. While they were able to find one particular Lagrangian after lengthy calculations, Jacobi Last Multiplier method yields two different Lagrangians (and many others), of which one is that found by Musielak et al, and the other(s) is(are) quite new.

研究の動機と目的

• 変数係数をもつ2階非線形常微分方程式に対して、ヤコビの最終乗数法が、ラグランジアンを導出する上で効果的で簡単であることを示すこと。
• ムジラックらの手法と比較し、計算量が多くなるにもかかわらず、長時間の計算を経て1つのラグランジアンしか得られなかったのとは対照的に、ヤコビの方法がいかに計算の複雑さと一般性において優れているかを明らかにすること。
• ヤコビの方法が、ムジラックらが得たラグランジアンに加え、これまでに未知であった新たなラグランジアンも含め、無限個の異なるラグランジアンを導出できることを示すこと。
• ヤコビの最終乗数、リー対称性、ノネル対称性がラグランジュ力学の文脈でいかに深く関連しているかを強調すること。

提案手法

• ヤコビの最終乗数（JLM）$ M $ は、関連するラグランジュ系のベクトル場と $ n-1 $ 個の独立な1次積分からなる行列の行列式の逆数として定義される。
• JLM は線形偏微分方程式 $ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial(M a_i)}{\partial x_i} = 0 $ を満たし、このPDEの任意の解が有効なJLMである。
• 既知のJLM $ M_1 $ が与えられたとき、その式に方程式の1次積分 $ I $ を乗じることで、新たなJLM $ M_2 = M_1 I $ を得られ、これにより新たなラグランジアンが生成される。
• JLM $ M $ から得られるラグランジアンの一般形は $ L = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + f_1(t,x)\dot{x} + f_2(t,x) $ であり、ここで $ f_1 $ と $ f_2 $ は $ M $ と方程式の係数を含む特定の整合性条件を満たす。
• この手法は、方程式の既知のリー点対称性（特に $ \partial_t $）を活用し、これはノネル対称性である。この対称性を用いて1次積分を生成し、それらを用いて新たなJLMとラグランジアンを生成する。
• このプロセスは反復的である：JLMに1次積分 $ I_1 $ の累乗を繰り返し乗じることで、無限個の異なるJLMとそれに対応するラグランジアンの系列が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビの最終乗数法は、$ \ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0 $ のような変数係数をもつ2階非線形常微分方程式に対して、ラグランジアンを効率的に導出できるか？
• RQ2 ヤコビの最終乗数法は、ムジラックらの手法と比較して、計算の複雑さと一般性においてどのように異なるか？
• RQ3 ヤコビの最終乗数法は、1つのラグランジアンではなく、無限個の異なるラグランジアンを導出できるか？
• RQ4 ラグランジュ力学の文脈において、ヤコビの最終乗数、リー対称性、ノネル対称性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 1次積分を活用することで、ヤコビの最終乗数法を用いて、これまでに未知であった新たなラグランジアンを体系的に導出できるか？

主な発見

• 方程式 $ \ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0 $ のヤコビの最終乗数は $ M_1 = e^{2P_b(x)} $ であり、ここで $ P_b(x) = \int b(x)\,dx $ である。この結果は、一般ラグランジアンの形を直接得る。
• この手法は、1つのラグランジアンだけでなく、無限個の異なるラグランジアンを生成する。これは、ムジラックらが長時間の計算を経て得たラグランジアンを含む。
• 最初のJLM $ M_1 $ に1次積分 $ I_1 = \frac{1}{2}e^{2P_b}\dot{x}^2 + \int e^{2P_b}c(x)x\,dx $ を乗じることで、新たなラグランジアン $ L_2 $ が得られ、$ M_2 = M_1 I_1 $ となる。これにより、2番目の有効なラグランジアンが得られる。
• さらに、$ M_1 $ に $ I_1 $ の累乗を乗じることで、より高次のラグランジアンが生成される。たとえば $ M_3 = M_1 I_1^2 $ とすると、$ \dot{x} $ に関して4次関数となる第3のラグランジアン $ L_3 $ が得られる。
• すべての導出されたラグランジアンは、時間並進対称性 $ \partial_t $ をノネル対称性として持ち、それに対応する1次積分はエネルギー型積分 $ I_1 $ の累乗である。
• この手法により、1次積分の存在が、単純な代数的乗算によって新たなJLMと新たなラグランジアンを生成できることを確認した。これは、この手法のスケーラビリティと強力さを示している。