[論文レビュー] Using nets in Dedekind, monotone, or Scott incomplete ordered fields and definability issues

Mojtaba Moniri, Jafar S. Eivazloo|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ギャップにおけるネットを用いて順序体における定義可能性と完全性を調査し、デデキンド完全性が、内部点を内部点に写像する連続単射関数と同値であることを確立する。一般化された冪級数と無限素数を用いて、パラメトリックに定義可能な正則ギャップを持つが、$\emptyset$-定義可能な発散するコーシー関数を持たない順序体を構成し、定義可能性論理における独立性結果を証明する。

ABSTRACT

Given a Dedekind incomplete ordered field, a pair of convergent nets of gaps which are respectively increasing or decreasing to the same point is used to obtain a further equivalent criterion for Dedekind completeness of ordered fields: Every continuous one-to-one function defined on a closed bounded interval maps interior of that interval to the interior of the image. Next, it is shown that over all closed bounded intervals in any monotone incomplete ordered field, there are continuous not uniformly continuous unbounded functions whose ranges are not closed, and continuous 1-1 functions which map every interior point to an interior point (of the image) but are not open. These are achieved using appropriate nets cofinal in gaps or coinitial in their complements. In our third main theorem, an ordered field is constructed which has parametrically definable regular gaps but no $\emptyset$-definable divergent Cauchy functions (while we show that, in either of the two cases where parameters are or are not allowed, any definable divergent Cauchy function gives rise to a definable regular gap). Our proof for the mentioned independence result uses existence of infinite primes in the subring of the ordered field of generalized power series with rational exponents and real coefficients consisting of series with no infinitesimal terms, as recently established by D. Pitteloud.

研究の動機と目的

• ギャップのネットと連続単射関数を用いて、順序体におけるデデキンド完全性を特徴づけること。
• 単調に不完全な順序体における閉有界区間上で、連続的で一様連続でなく、有界でない関数の存在を示すこと。
• パラメトリックに定義可能な正則ギャップを持つが、$\emptyset$-定義可能な発散するコーシー関数を持たない順序体を構成すること。
• 順序体において、定義可能な正則ギャップと定義可能な発散するコーシー関数の間の独立性を証明すること。

提案手法

• ギャップに cofinal またはその補集合に coinitial な厳密に増加および減少のネットを用いて、不完全体における病理的関数を構成すること。
• コーシー関数を含む論理式によって集合を定義し、正則カットを生成し、その定義可能性を分析すること。
• 一般化された冪級数環への自己同型を適用して、特定の関数やギャップの非定義可能性を示すこと。
• 一般化された冪級数の部分環における無限素数に関するピットロウの結果を活用し、特定の定義可能性性質を持つモデルを構成すること。
• 一般化された冪級数体の実閉包を用いて、特定の元が平方でないことを示し、実閉包ではないことを示すこと。
• 一般化された冪級数環の分数体がその実閉包において稠密であることを証明し、近似の議論を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デデキンド完全性は、閉有界区間上で連続単射関数が内部点を内部点に写像するという条件と同値か？
• RQ2 単調に不完全な順序体の閉有界区間上で、連続的で一様連続ではなく、有界でない関数が存在するか？
• RQ3 定義可能な発散するコーシー関数の存在は、順序体において定義可能な正則ギャップの存在を含意するか？
• RQ4 パラメトリックに定義可能な正則ギャップを持つが、$\emptyset$-定義可能な発散するコーシー関数を持たない順序体が存在するか？
• RQ5 順序体において、定義可能な正則ギャップと定義可能な発散するコーシー関数の論理的関係は何か？

主な発見

• デデキンド完全性は、閉有界区間上で連続単射関数が内部点を内部点に写像するという条件と同値である。
• すべての単調に不完全な順序体において、連続的で一様連続ではなく、有界でない関数が存在し、その値域は閉じていない。
• 閉有界区間上で定義された連続的で単射な関数のうち、内部点をその像の境界点に写像するものがあり、このような関数は開写像ではないことを示している。
• パラメトリックに定義可能な正則ギャップを持つが、$\emptyset$-定義可能な発散するコーシー関数を持たない順序体 $K$ が存在する。
• 有理数の指数と実数の係数を持つ一般化された冪級数の部分環における無限素数の存在が、このような体の構成を可能にし、定義可能なギャップと定義可能なコーシー関数の間の独立性を証明する。
• 一般化された冪級数環 $[[\mathbb{R}^{\mathbb{Q}^{\leq 0}}]]$ の分数体 $K$ はその実閉包において稠密であるが実閉ではない。また、$K$ は特定の自己同型およびその逆写像に関して閉じている。