[論文レビュー] Vanishing of L-functions of elliptic curves over number fields

Chantal David, Jack Fearnley+1 more|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$k$ を奇素数とするディリクレ指標 $\chi$ に対して、有理数体上の楕円曲線 $E$ のねじれ $L$ 関数 $L_E(1,\chi)$ の消失を予測するために、ランダム行列理論が用いられる。$k=3$ の場合、中心的臨界点で消失するような指標が無限に存在すると予想されるが、$k \geq 7$ の場合、有限個しか存在しないとされ、$k=5$ は発散の閾値に位置する。これらの予測は、ビーカーとスウィンナートン＝ダイヤーの予想を通じて、$E$ が巡回的数体上でのランク増加と関連づけられる。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, with L-function $L_E(s)$. For any primitive Dirichlet character $χ$, let $L_E(s, χ)$ be the L-function of $E$ twisted by $χ$. In this paper, we use random matrix theory to study vanishing of the twisted L-functions $L_E(s, χ)$ at the central value $s=1$. In particular, random matrix theory predicts that there are infinitely many characters of order 3 and 5 such that $L_E(1, χ)=0$, but that for any fixed prime $k \geq 7$, there are only finitely many character of order $k$ such that $L_E(1, χ)$ vanishes. With the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, those conjectures can be restated to predict the number of cyclic extensions $K/\mathbb{Q}$ of prime degree such that $E$ acquires new rank over $K$.

研究の動機と目的

• 有理数体 $\mathbb{Q}$ 上のアーベル拡大 $K/\mathbb{Q}$ の素数次数について、楕円曲線 $E$ のランクがどのように増加するかを理解すること。
• ねじれ $L$ 関数 $L_E(1,\chi)$ が中心的臨界点で消失する頻度を調査すること。
• ランダム行列理論を用いて、素数次数 $k$ の指標に対するこのような消失ねじれの漸近的分布を予測すること。
• ビーカーとスウィンナートン＝ダイヤーの予想に基づき、ランク増加の問題を、$E$ が新たなランクを獲得する $\mathbb{Q}$ 上の巡回拡張 $K/\mathbb{Q}$ の数として再定式化すること。

提案手法

• モジュラー記号を用いて、特別値 $L_E(1,\chi)$ を、指標 $\chi$ に依存する代数的整数 $n_E(\chi)$ を含む積の形で表現する。
• 代数的整数 $n_E(\chi)$ を $\mathbb{C}$ への埋め込みにより離散化し、格子点としてモデル化する。
• ケーティング＝スナイスのランダム行列モデルを適用し、ランダム行列の特性多項式を用いて、$|L_E(1,\chi)|$ が小さい確率を推定する。
• 複数のガロア共役が同時に小さい確率を結合確率として評価することで、消失の確率を推定する。
• 得られた確率推定値を用いて、導手が $\leq X$ であるすべての指標について和をとることで、消失ねじれの数 $N_{E,k}(X)$ の漸近的予想を得る。
• 得られた予想を、ビーカーとスウィンナートン＝ダイヤーの予想に従い、$E$ がランクを獲得する $\mathbb{Q}$ 上の巡回拡張 $K/\mathbb{Q}$ の数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次数 $k$ のディリクレ指標に対して、$L_E(1,\chi) = 0$ を満たすようなねじれ $\chi$ が無限に存在するか？
• RQ2 導手の大きさ $X$ の関数として、このような消失ねじれの数の漸近的成長率は何か？
• RQ3 $L_E(1,\chi)$ の消失は、$\mathbb{Q}$ 上の次数 $k$ の巡回拡張 $K/\mathbb{Q}$ における $E$ のランク増加とどのように関係するか？
• RQ4 $k=7$ で挙動が変化するのはなぜか？

主な発見

• $k=3$ の場合、$X \to \infty$ のとき $\log N_{E,3}(X) \sim \frac{1}{2}\log X$ を満たし、無限に多くのこのようなねじれがあることを示唆する。
• $k=5$ の場合、$N_{E,5}(X)$ は無限大に発散するが、$X$ の任意の正のべきよりも遅く成長する、すなわち任意の $\epsilon > 0$ に対して $N_{E,5}(X) \ll X^\epsilon$ であるため、無限に多くは存在するが、希少であると示唆される。
• $k \geq 7$ の場合、$X \to \infty$ のとき $N_{E,k}(X)$ は有界であるため、このような消失ねじれは有限個しか存在しないと示唆される。
• ランダム行列モデルにより、$k$ 次の指標に対して消失確率は $\frac{\log^{(k-1)/8} m}{m^{(k-1)/4}}$ のように減少することが予測され、$k \geq 7$ のとき和が収束することから、有界性が支持される。
• $k=3,5,7$ について、導手が200万未満のクレモナ曲線に対する数値的証拠は、予想を支持しており、$k$ が大きくなるにつれて消失ねじれの希少性が増す傾向が確認された。
• $k=11$ について、導手が200万未満の曲線では、消失ねじれが一切見つからなかった。これは、$k \geq 7$ のとき $N_{E,k}(X)$ が有界であるという予想と整合的である。