[論文レビュー] Vanishing theorems and the multigraded regularity of nonsingular subvarieties

Victor Lozovanu, Gregory G. Smith|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スキーム的方程式に関連するベーシックでネフな線分束を用いて、非特異部分多様体上のねじれた理想層の高次コホロロジー群に対する新しい消滅定理を確立する。主な貢献は、多重次数付きのカステルヌオーヴォ-ムーリー正則性の線形境界および、付随線分束埋め込みの射影正則性の新しい基準であり、ネフ除数に全順序を要しないという既存の結果の一般化である。

ABSTRACT

Given scheme-theoretic equations for a nonsingular subvariety, we prove that the higher cohomology groups for suitable twists of the corresponding ideal sheaf vanish. From this result, we obtain linear bounds on the multigraded Castelnuovo-Mumford regularity of a nonsingular subvariety, and new criteria for the embeddings by adjoint line bundles to be projectively normal. A special case of our work recovers the vanishing theorem of Bertram, Ein, and Lazarsfeld.

研究の動機と目的

• 非特異部分多様体上でネフ除数によって定義される twisted 理想層の高次コホロロジー群の消滅定理を確立すること。
• このような部分多様体の多重次数付きカステルヌオーヴォ-ムーリー正則性の線形境界を導出すること。
• 付随線分束の正則全切断間の積分写像の上への性質に関する新しい基準を提供すること。
• Bertram-Ein-Lazarsfeld の消滅定理を、ネフ除数に全順序を要しない形に一般化すること。
• トーリック多様体やモーリ・ドリーム空間などの、高次元のネフコーンを有する環境空間に対してもこの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 証明は、線分束の商に伴う射影バンドルを用いた幾何的構成により、ネフコーンの構造を活用する。
• 漸近的乗数イデアル層を用いて、高余次元設定下での Kawamata-Viehweg の消滅定理を適用する。
• 局所的正則パラメータ系を用いて、ベーシックでネフな線分束の漸近的乗数イデアル層がすべての点で自明であることを示す。
• 線分束 $ B = \pi^*(L \otimes \mathcal{O}_X(mD_{s_1} + \sum D_{s_j})) \otimes \mathcal{O}_{X'}(mF_{s_1} + \sum F_{s_j}) $ の分解を用いて、基点自由な線形系列を分析する。
• 文献[PAGII]の定理11.2.12(ii)を適用し、漸近的乗数イデアルが自明である場合に高次コホロロジーが消えることを結論づける。
• 各点で正規交叉をもつ効果的除数 $ G $ を構成し、$ \mathscr{J}(G) = \mathscr{O}_{X'} $ が成り立つようにすることで、乗数イデアルが自明であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異部分多様体上のねじれた理想層の高次コホロロジー群がどのような条件下で消えるか。
• RQ2 定義方程式の次数に関して、多重次数付きカステルヌオーヴォ-ムーリー正則性をどのように線形的に境界づけられるか。
• RQ3 付随線分束の正則全切断間の積分写像の上への性質を保証する条件は何か。
• RQ4 Bertram, Ein, および Lazarsfeld の消滅定理を、ネフ除数に全順序を仮定しない形に一般化できるか。
• RQ5 この枠組みを、トーリック多様体やモーリ・ドリーム空間などの、多次元のネフコーンを有する環境空間にどの程度まで応用できるか。

主な発見

• すべての $ e $-要素部分集合 $ \{s_1, \dots, s_e\} \subseteq \{1, \dots, r\} $ に対して、$ L \otimes \mathcal{O}_X(-(m+1)D_{s_1} - \cdots - D_{s_e}) $ がベーシックでネフであるとき、すべての $ i > 0 $ に対して $ H^i(X, \mathscr{I}_Y^{m+1} \otimes K_X \otimes L) $ は消える。
• 非特異部分多様体 $ Y \subseteq X $ の多重次数付きカステルヌオーヴォ-ムーリー正則性は、その定義方程式の次数に関して、高々線形的に増加する。
• 補題1.2は、すべての $ e $-要素部分集合および $ \sum u_j = \dim(Y)+1 $ を満たす $ u_j $ に対して $ L \otimes \mathcal{O}_X(-D_{s_1} - \cdots - D_{s_e} - \sum u_j P_j) $ がベーシックでネフであると仮定すると、$ \mathscr{I}_Y $ の正則性に対する線形境界を提供する。
• 補題1.3は、$ j=1,2 $ に対して $ L_j \otimes A_1^{-1} \otimes \cdots \otimes A_d^{-1} $ がベーシックでネフであるという条件下で、付随線分束 $ K_X \otimes L_1 $ と $ K_X \otimes L_2 $ の正則全切断間の積分写像の上への性質に関する新しい基準を与える。
• 本稿では、ベクトルバンドルの対称巾に関するグリフィス型消滅定理を新たに証明し、$ E $ が $ \bigoplus \mathcal{O}_X(D_j) $ の商であるとき、$ H^i(X, \operatorname{Sym}^m(E) \otimes B) = 0 $ がすべての $ i > 0 $、$ m \geq 0 $、およびベーシックでネフな $ B $ に対して成り立つことを示す。
• 特に $ X = \mathbb{P}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{n_\ell} $ の場合、接バンドルは $ \bigoplus \mathcal{O}_X(D_k) $ の商であるから、すべての $ i > 0 $、$ m \geq 0 $、およびベーシックでネフな $ B $ に対して $ H^i(X, \operatorname{Sym}^m(T_X) \otimes B) = 0 $ が成り立つ。