[論文レビュー] Variable Total Variation Regularization for Backward Time-Space Fractional Diffusion Problem

Junxiong Jia, Jigen Peng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノイズが混入した最終時刻測定値から初期データを再構成するために、フーリエ領域における最小化を用いた、変数全 variation (TV) 正則化法を提案する。この手法は、整備された適応的正則化項の更新を伴う修正 Bregman 反復アルゴリズムと、一般の分数マッチング作用素に対して適切に定式化された分数的半群理論を組み合わせ、エッジの保存と階段状のノイズの低減を実現し、収束性とパラメータ選択戦略が保証されており、数値実験において標準的な Tikhonov および TV モデルを上回る性能を示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider a backward problem for a time-space fractional diffusion process. For this problem, we propose to construct the initial data by minimizing data residual error in fourier space domain and variable total variation (TV) regularizing term which can protect the edges as TV regularizing term and reduce staircasing effect. The well-posedness of this optimization problem is studied under a very general setting. Actually, we write the time-space fractional diffusion equation as an abstract fractional differential equation and get our results by using fractional semigroup theory, so our results can be applied to other backward problems for more general fractional differential equations. Then a modified Bregman iterative algorithm is proposed to approximate the minimizer. The new features of this algorithm is that the regularizing term changed in each step and we need not to solve the complexed Euler-Lagrange equations of variable TV regularizing term (just need to solve a simpler Euler-Lagrange equations). The convergence of this algorithm and the strategy of choosing parameters are also obtained. Numerical implementations are given to support our analysis to show the flexibility of our minimization model.

研究の動機と目的

• ノイズが混入した最終時刻データを用いた時間・空間分数マッチング拡散方程式の不適切な逆問題に対処すること。
• エッジを保持し、TV 正則化で一般的に見られる階段状のノイズを低減する柔軟な正則化モデルを開発すること。
• 一般の分数作用素に対して、最適化問題の適切な定式化を分数的半群理論を用いて確立すること。
• 各ステップで複雑なオイラー＝ラグランジュ方程式を解く必要がないように、正則化項を段階的に更新する効率的な反復アルゴリズムを設計すること。
• 数値的検証を通じて、不連続な初期データを回復する際の本手法の優位性を示すこと。

提案手法

• 時間・空間分数マッチング拡散方程式を、変数全 variation (TV) 正則化項を含むフーリエ領域におけるデータ残差誤差の最小化問題として定式化する。
• 分数的半群理論を用いて、時間・空間分数マッチング拡散方程式を抽象的分数微分方程式として再定式化する。
• 各ステップで変数 TV の複雑なオイラー＝ラグランジュ方程式を解く必要を回避するため、適応的正則化パラメータの更新を伴う Bregman 反復法を適用する。
• 反復回数を制御し、過学習を防ぐために、残差の減少に基づく停止基準を用いる。
• 正則化項を段階的に更新する修正 Bregman アルゴリズムを採用し、部分問題の解法を単純なオイラー＝ラグランジュ方程式に簡略化する。
• さまざまなノイズレベルと分数パラメータを用いた合成例に対して、本手法の数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数全 variation 正則化は、エッジ回復の向上と階段状のノイズ低減を実現するために、時間・空間分数マッチング拡散問題にどのように効果的に適用可能か？
• RQ2 一般の分数作用素設定下で、提案された最小化モデルの理論的適切性はどのように保証されるか？
• RQ3 修正 Bregman 反復アルゴリズムは、複雑なオイラー＝ラグランジュ方程式を解く必要がなく、収束性をどのように保証するか？
• RQ4 分数マッチングの次数 α が不適切さの度合いに与える影響は何か？また、α=1 で不連続な挙動を示すか？
• RQ5 不連続な初期データを回復する際、変数 TV モデルの性能は、Tikhonov および標準 TV 正則化と比較して定量的にどの程度優れているか？

主な発見

• 例 2 において σ=0.0005 の場合、提案された変数 TV モデルは相対誤差 13.0666% を達成し、Tikhonov モデル (13.7772%) や標準 TV モデル (13.0053%) を上回る性能を示した。
• σ=0.005 の場合、変数 TV モデルは相対誤差 22.7810% を達成し、Tikhonov モデル (25.2101%) や標準 TV モデル (22.7222%) よりわずかに優れた性能を示した。
• 数値的検証により理論的予測が妥当であることが確認された：λ=10¹¹ のとき M=10；λ=1/4×10¹¹ および λ=1/16×10¹¹ のとき、それぞれ M=38 および M=167 となり、理論的期待値とよく一致した。
• α が 1 に近づくにつれて、不適切さの度合いは連続的に減少するが、α=1 で急激に変化し、不適切さの挙動に不連続性が生じることが示された。
• 滑らかな初期データに対しては Tikhonov 正則化に類似した挙動を示し、区分的定数データに対しては TV 正則化に類似した挙動を示すため、適応的柔軟性を示した。
• 図 6 は、α=0.99 であっても α=1 より著しく不適切さが弱いことを示しており、α<1 の分数マッチングモデルが整数階の対応物よりも本質的に不適切さが小さいことを示唆している。