[論文レビュー] Variable Version Lovász Local Lemma: Beyond Shearer's Bound

Kun He, Li Liang+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、変数版ロヴァーシュの局所補題（変数-LLL）の、初めての必要十分条件を確立し、長年の未解決問題を解決した。2つのクラスの事象-変数グラフ（巡回的および木型のバイグラフ）について正確な境界を特定し、変数-LLLと抽象-LLLの境界の間のギャップが、かつてそのベースグラフに長さ4以上の誘導部分サイクルを含む場合にのみ存在することを証明した。

ABSTRACT

A tight criterion under which the abstract version Lovász Local Lemma (abstract-LLL) holds was given by Shearer decades ago. However, little is known about that of the variable version LLL (variable-LLL) where events are generated by independent random variables, though this model of events is applicable to almost all applications of LLL. We introduce a necessary and sufficient criterion for variable-LLL, in terms of the probabilities of the events and the event-variable graph specifying the dependency among the events. Based on this new criterion, we obtain boundaries for two families of event-variable graphs, namely, cyclic and treelike bigraphs. These are the first two non-trivial cases where the variable-LLL boundary is fully determined. As a byproduct, we also provide a universal constructive method to find a set of events whose union has the maximum probability, given the probability vector and the event-variable graph. Though it is #P-hard in general to determine variable-LLL boundaries, we can to some extent decide whether a gap exists between a variable-LLL boundary and the corresponding abstract-LLL boundary. In particular, we show that the gap existence can be decided without solving Shearer's conditions or checking our variable-LLL criterion. Equipped with this powerful theorem, we show that there is no gap if the base graph of the event-variable graph is a tree, while gap appears if the base graph has an induced cycle of length at least 4. The problem is almost completely solved except when the base graph has only 3-cliques, in which case we also get partial solutions. A set of reduction rules are established that facilitate to infer gap existence of an event-variable graph from known ones. As an application, various event-variable graphs, in particular combinatorial ones, are shown to be gapful/gapless.

研究の動機と目的

• 変数-LLLの理解のギャップを埋めるために、その妥当性に関する必要十分条件を確立すること。
• 非自明な事象-変数グラフの族、特に巡回的および木型のバイグラフについて、変数-LLLの境界を正確に特定すること。
• 与えられた確率ベクトルと依存構造のもとで、事象の和集合確率を最大化する普遍的な構成的手法を開発すること。
• Shearerの条件を解かずに、変数-LLLと抽象-LLLの境界の間にギャップが存在するかどうかを特定すること。
• フレームワークを組合せ的事象-変数グラフに適用し、ギャップを有するか否かを同定すること。

提案手法

• 独立集合を含む不等式系を用いて表現される、事象確率と事象-変数グラフ構造に基づく、変数-LLLの新しい基準を提案する。
• 構造的性質（誘導サイクルなど）を用いて、既知のベースグラフ型からギャップの存在を推論する還元フレームワークを導入する。
• 与えられた事象-変数グラフと確率ベクトルのもとで、事象の和集合確率の最大値を計算する普遍的なアルゴリズムを構築する。
• 和集合確率の最大値を計算する問題を、Holantインスタンスの充足割り当て数を数える問題に還元し、これは#P困難である。
• 二分探索と還元を用いて、最大確率ベクトル（INT）を特定する問題が#P困難であることを示す。
• 確率空間内のブロック分割と3SATインスタンスとの関係を活用して、困難性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた事象-変数グラフと事象確率のもとで、変数-LLLが成立するための正確な必要十分条件は何か？
• RQ2 どの種の事象-変数グラフ族について、変数-LLL境界を完全に特徴付けられるか？
• RQ3 変数-LLL境界と抽象-LLL境界（Shearerの境界）の間にギャップが存在するのはいつか？
• RQ4 Shearerの条件を解いたり、新しい基準を検証したりせずに、ギャップの存在を決定できるか？
• RQ5 与えられた事象-変数グラフと確率ベクトルのもとで、事象の和集合確率の最大値を求める問題は、計算的に困難か？

主な発見

• この論文は、事象確率と事象-変数グラフの構造に基づき、変数-LLLの必要十分条件を確立し、長年の未解決問題を解決した。
• 変数-LLL境界は、2つの非自明な族（巡回的および木型のバイグラフ）について完全に特定された。
• 変数-LLLと抽象-LLLの境界の間にギャップが存在するのは、かつてその事象-変数グラフのベースグラフに長さ4以上の誘導部分サイクルが含まれる場合に限る。
• もしベースグラフが木であれば、変数-LLLと抽象-LLLの境界の間にギャップは存在しない。
• 与えられた事象-変数グラフと確率ベクトルのもとで、事象の和集合確率の最大値を計算する問題は#P困難である。
• この論文は、確率ベクトルと事象-変数グラフが与えられたもとで、最大確率に達するような事象の集合を構成的に見つけるための普遍的な手法を提供している。