[論文レビュー] Variance Reduction Applied to Machine Learning for Pricing Bermudan/American Options in High Dimension

Ludovic Goudenège, Andrea Molent+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ガウス過程回帰（GPR）とモンテカルロシミュレーションを用いて、高次元のアメリカン・オプションの価格付けを、ヨーロピアン・オプションの価格を制御変数として用いることで、分散低減する機械学習的手法を提案する。この手法は推定子の分散を顕著に低減し、100資産までのバスケットにまで適用可能となる。次元の呪いを克服しつつ、計算効率を維持する。

ABSTRACT

In this paper we propose an efficient method to compute the price of multi-asset American options, based on Machine Learning, Monte Carlo simulations and variance reduction technique. Specifically, the options we consider are written on a basket of assets, each of them following a Black-Scholes dynamics. In the wake of Ludkovski's approach (2018), we implement here a backward dynamic programming algorithm which considers a finite number of uniformly distributed exercise dates. On these dates, the option value is computed as the maximum between the exercise value and the continuation value, which is obtained by means of Gaussian process regression technique and Monte Carlo simulations. Such a method performs well for low dimension baskets but it is not accurate for very high dimension baskets. In order to improve the dimension range, we employ the European option price as a control variate, which allows us to treat very large baskets and moreover to reduce the variance of price estimators. Numerical tests show that the proposed algorithm is fast and reliable, and it can handle also American options on very large baskets of assets, overcoming the problem of the curse of dimensionality.

研究の動機と目的

• 機械学習とモンテカルロ法を用いた多資産アメリカン・オプションの価格付けにおける次元の呪いを克服する。
• 高次元バスケットにおけるガウス過程回帰（GPR）に基づく後向きインダクションの精度と安定性を向上させる。
• ヨーロピアン・オプションの価格を制御変数として用いることで、アメリカン・オプション価格推定子の分散を低減する。
• 標準的手法が失敗する大規模バスケット（最大100資産）に対しても、機械学習ベースの価格付け手法の適用範囲を拡大する。
• 制御変数技術がGPR-MCに加え、GPR-Tree や GPR-EI といった関連手法に対しても効果を発揮することを示す。

提案手法

• 均等間隔の行使日を有する後向きインダクションアルゴリズムを適用し、モンテカルロ・シミュレーションからの継続価値をガウス過程回帰（GPR）で推定する。
• ヨーロピアン・オプション価格の半アナリティカルなGPR-EI式または準モンテカルロ法に基づく制御変数を導入し、アメリカン・オプション推定子の分散を低減する。
• GPR-MC-CVアルゴリズムを用い、アメリカン・オプション価格を行使価値とGPRで推定した継続価値の最大値として計算し、制御変数を用いて補正する。
• 高次元における繰り返し計算に適した、高速かつ高精度なヨーロピアン・オプション価格計算のためのGPR-EI式を活用する。
• 大規模バスケットや高サンプル数において計算時間を短縮するため、部分的な並列化を実装する。
• 次元（d = 2 から 100）とサンプル数（M = 1000 から 10000）を変化させた幾何的バスケット・プット・オプションを用いて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヨーロピアン・オプション価格を制御変数として用いることで、高次元設定におけるアメリカン・オプション価格推定子の分散を顕著に低減できるか？
• RQ2 制御変数は、大規模バスケットにおけるGPRベースの後向きインダクションの精度と安定性をどの程度向上させるか？
• RQ3 GPR-MC-CV手法は、次元の増加に伴い（d = 2 から 100）、計算効率とスケーラビリティにおいてどのように性能を示すか？
• RQ4 制御変数技術は、GPR-Tree や GPR-EI といった代替のGPRベース手法に対しても効果を発揮するか？
• RQ5 100個の基礎資産を扱える状況でも、低分散と短い計算時間の両立を維持できるか？

主な発見

• GPR-MC-CV手法は、標準的なGPR-MCと比較して、推定子の標準偏差を最大30％まで低減し、全テスト次元（d = 2 から 100）でその低減効果が確認された。
• d = 100の場合、GPR-MC-CV推定子の標準偏差は 3.0 × 10⁻³（95％信頼区間：[2.7, 3.5] × 10⁻³）であり、GPR-MCと比較して10.5 × 10⁻³と顕著な分散低減が確認された。
• 計算時間は次元の増加に伴いわずかに増加するにとどまり、計算効率が維持されている。また、部分的な並列化が可能であり、著しい高速化が達成された。
• 制御変数はGPR-MCに限らず、GPR-Tree や GPR-EI 手法に対しても性能向上をもたらし、分散低減技術の広範な適用可能性を示している。
• GPR-EI式により、高速かつ高精度なヨーロピアン・オプション価格計算が可能となり、高次元設定における繰り返し計算に適した制御変数として適している。
• 本アルゴリズムは、標準的なGPR-MCが5資産までと限界を設けるのに対し、100資産までのバスケットのアメリカン・オプションの価格付けに成功し、適用範囲を著しく拡大した。