[論文レビュー] Variation of the Liouville measure of a hyperbolic surface

Francis Bonahon, Yaşar Sözen|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双曲的曲面におけるテイヒミュラー空間からホルダー測度の地図へのリウヴィル測度の微分可能性を確立する。測度の変化に伴うリウヴィル測度の微分がホルダー分布として得られることを示すことにより、地図的測度空間における微分積分学を構築し、古典的リウヴィル測度をテイヒミュラー理論における微分構造へと拡張する。

ABSTRACT

For a compact riemannian manifold of negative curvature, the geodesic foliation of its unit tangent bundle is independent of the negatively curved metric, up to Holder bicontinuous homeomorphism. However, the riemannian metric defines a natural transverse measure to this foliation, the Liouville transverse measure, which does depend on the metric. For a surface S, we show that the map which to a hyperbolic metric on S associates its Liouville transverse measure is differentiable, in an appropriate sense. Its tangent map is valued in the space of transverse Holder distributions for the geodesic foliation.

研究の動機と目的

• コンactな双曲的曲面 $ S $ のテイヒミュラー空間 $ \mathcal{T}(S) $ における、リウヴィル地図 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $ の微分可能性を確立すること。
• 地図の変化に伴うリウヴィル測度の微分が、地図のフォリエーションに沿った横断的ホルダー分布の空間に属することを示すこと。
• テイヒミュラー空間上での古典的リウヴィル測度を、接空間をホルダー地図的測度空間に埋め込むことによって微分可能な構造へと拡張すること。
• 普遍被覆の幾何的データとシアリングコキュールを用いて、接地図 $ T_mL $ の公式を導出すること。

提案手法

• 著者たちは、双曲的計量とはホルダー同相写像を除いて独立な、単位接束 $ T^1S $ の地図的フォリエーションを利用する。
• 彼らは、双曲的計量 $ m $ によって誘導される地図的フォリエーションへの横断的測度としてリウヴィル地図 $ L_m $ を定義する。
• 異なる可微分曲線 $ m_t $ 沿いでの $ L_m $ の変化を分析し、測度の極限として $ \frac{d}{dt}L_{m_t}\big|_{t=0} $ を計算する。
• シアリングコキュール $ \dot{\sigma}_0 $ と幾何的係数 $ C_0(\varphi, T) $ を含む級数の収束を示すことにより、この微分がホルダー地図的測度を定義することを証明する。
• 主な技術的道具は、変化する計量下での普遍被覆 $ \widetilde{S} $ における距離と角度の比較であり、特定の項の指数的減衰を利用する。
• 優越収束定理と一様収束推定を用いて、積分記号の下での微分を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各双曲的計量に対してそのリウヴィル地図を割り当てる写像 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $ は微分可能か？
• RQ2 双曲的計量の変化に伴うリウヴィル地図の微分の性質は何か？
• RQ3 微分は普遍被覆における地図の空間上のホルダー分布として表現可能か？
• RQ4 接地図 $ T_mL $ は地図ラミネーションのシアリングコキュールとどのように関係するか？
• RQ5 接地図 $ T_mL $ は基本計量 $ m \in \mathcal{T}(S) $ に関して連続か？

主な発見

• リウヴィル地図 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $ は、任意の点 $ m \in \mathcal{T}(S) $ で微分可能であり、その微分はホルダー地図的測度空間 $ \mathcal{H}(S) $ に値をとる。
• 接地図 $ T_mL: T_m\mathcal{T}(S) \to \mathcal{H}(S) $ は線形であり、$ m $ に関して連続に依存する。
• 微分 $ T_mL(\dot{m}) $ は明示的に $ T_mL(\dot{m})(\varphi) = \sum_T \dot{\sigma}_0(T) C_0(\varphi, T) $ で与えられ、ここで $ \dot{\sigma}_0 $ はシアリングコキュール、$ C_0(\varphi, T) $ は幾何的係数である。
• 微分を定義する級数の収束は、$ \mathcal{T}(S) $ のコンパクト部分集合上で一様であるため、接地図の連続性が保証される。
• 微分は $ \pi_1(S) $ の作用に関して不変であり、これは、それが曲面上の適切に定義されたホルダー地図的測度を定義することを確認する。
• この結果により、古典的リウヴィル測度がテイヒミュラー空間上での微分構造へと拡張され、地図的測度空間における微分幾何学が可能になる。